Ongitud de arco de grafica de una función
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR
INSTITUTO TECNOLÓGICO ANTONIO JOSÉ DE SUCRE
BARCELONA- ESTADO ANZOÁTEGUI
Prof.: Manuel López.
BACHILLER:
* VARGAS P., GILBERTO J
C.I.: 13.368.412
TecnologíaMecánica
Barcelona, 03 de Septiembre de 2010
LONGITUD DE ARCO DE GRAFICA DE UNA FUNCIÓN
Si la derivada de la función f, f ', es continua en el intervalo [a, b], se dice que f es alisada en dicho intervalo.
EJEMPLO |
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CENTROIDE DE UNA REGION PLANA
Se conoce como centroide al centro de masa de una región sin masa en un plano.
Seag<=f funciones continuas en [a,b]. El centroide de la región delimitada por y = g(x), y=f(x), x =a, x = b viene dado por:
Donde A es el área de la región.
Un ejemplo de esta aplicación de la integral es:
EJEMPLO
Para hallar el centroide de la región limitada por las gráficas de f (x)= 4-x2 y g (x)= x+2 tenemos que :
Estas 2 curvas se cortan en (-2,0) y en (1,3), por lo que el áreaes:
El centroide tiene coordenadas:
De donde obtenemos:
ÁREA
Es la extensión o superficie comprendida dentro de una figura (de dos dimensiones), expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos.Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.
Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica naturalinducida por la métrica euclídea.
ÀREA CON LÍMITE
Sea una función cuyo dominio está en el intervalo cerrado , tal que para .
Sea la región plana limitada por las gráficas de las ecuaciones: , (eje ), , .
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Sea una partición de en subintervalos determinados por el conjunto, con , .
Sea un aumento de .
Construimos rectángulos cuyas bases sean los intervalos de la partición cuyasalturas sean
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El área del -ésimo rectángulo está dada por ; y la suma
de las áreas de los rectángulos será una aproximación al área de .
Si aumentamos el número de subintervalos, entonces decrece la longitud de cada subintervalo de la partición , obteniéndose una nueva suma que dará una mayor aproximación al área de .
Demos ahora la siguiente definición:
| Definición | |
Si para , y si existe un número tal que dada una , exista tal que
para toda partición de , y todo aumento de en que , entonces este número es el área de la región limitada por las gráficas de la ecuación. |
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Note que de esta definición se tiene que:
y si existe, entonces:
EJEMPLO
Calculemos el área de la región limitada por las gráficas de
, , , .
Solución
Larepresentación gráfica es la siguiente:
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El área del i-ésimo rectángulo es:
La suma de aproximación para el área de es:
(En la gráfica anterior se muestra el ésimo rectángulo de la aproximación).
Luego de la definición 5 se tiene que:
CÁLCULO DE ÁREA ENTRE DOS O MAS CURVAS
Sean y dos funciones con dominio en el intervalo , tales que para .
Vamos a determinarcuál es el área de la región limitada por las gráficas de que se muestra a continuación:
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Construimos un conjunto de rectángulos tales que la suma de sus áreas sea una aproximación al área de .
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Sea una partición de en subintervalos determinados por el conjunto
donde , .
Sea un aumento de . Construimos rectángulos cuyos anchos sean los subintervalos de la...
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