operacional




Integrar la siguiente función:



Elaborar la tabla comparativa que se muestra de los diferentes métodos numéricos, analizando el error relativo en cada caso con respecto a la integral exacta o analítica de la función con 4 decimales. (Ver ecuación de error).



MÉTODO
VALOR DE INTEGRAL
ERROR
OBSERVACIÓN
1- Exacto o analítico

0%
Función Continúa.
2- Numérico con paso =0.10


Calcular con hoja electrónica.
3- Numérico con paso =0.01


Calcular con hoja electrónica.
4- Trapecio simple (línea recta)


1 segmento, 2 puntos.
5- Trapecio Aplicación múltiple.


2 segmentos, 3 puntos.
6- Simpson 1/3 Aplicación simple.


2 segmentos, 3 puntos.
7- Simpson 1/3 Aplicación múltiple.


4 segmentos, 5 puntos.
8- Simpson 3/8.


3 segmentos, 4 puntos.9- Simpson 1/3 Aplicación Simple + Regla de Simpson 3/8.


5 segmentos, 6 puntos.
10- Boole para 4 segmentos 5 puntos.


4 segmentos, 5 puntos.
11- Boole para 5 segmentos 6 puntos.


5 segmentos, 6 puntos.
12- Herramienta Numerical Integration Utility (ver Ruta de Trabajo de la semana).



13- Software Matemático Euler.





2. Grafique la ecuación dada y la ecuación integradacon EULER. ¿Qué se puede concluir al comparar estas gráficas?

3. Escriba las conclusiones y observaciones que obtenga de desarrollar el ejercicio.


SOLUCIÓN


En primer lugar, se sabe que la derivada de una función representa el área bajo la curva en un intervalo. De esta manera se tiene:



Solucionando el trinomio cuadrado perfecto se tiene:



Con Ecuación 1

Teniendo encuenta que la solución analítica es una solución exacta, se puede calcular dicha solución valiéndose de las bases obtenidas del cálculo integral dónde:



Ecuación 2


Al evaluar la ecuación 1 en el intervalo se obtiene la solución analítica de dicha integral:


Tabla 1. Solución exacta de la integral.

De esta manera la solución exacta de la integral es .


Existen técnicas parapoder realizar una integral, haciendo uso de los métodos numéricos es posible llegar a una solución aproximada de ésta. La función es una curva que para poder hallar el área se puede seccionar en trapecios y aplicar la ecuación de área de estos (ver ). Luego de tener el área de cada uno de los trapecios se suma y es se obtiene el área bajo la curva. El tamaño del paso es la altura de lostrapecios y los valores de las bases de éstos.


Ecuación 3

Dónde:




Solución por métodos numéricos.

Paso



Tabla 2. Solución numérica integral con paso 0.1.

Se observa la tabla 2 con los desde y , con un tamaño de paso de y el área del trapecio aplicando la ecuación 2. La sumatoria de todas las áreas muestra un total de siendo este resultado el área bajo la curva La integralse calcula teniendo tomando valores de en el intervalo










Paso


Tabla 3. Solución numérica integral con paso 0.01.

Se observa la tabla 2 con los desde y , con un tamaño de paso de y el área del trapecio aplicando la ecuación 2. La sumatoria de todas las áreas muestra un total de siendo este resultado el área bajo la curva La integral se calcula teniendo tomandovalores de en el intervalo

Solución por regla del trapecio simple.


TRAPECIO SIMPLE
b-a
fa
fb
(fa+fb)/2
8,00
-343
15625
7641
Integral
61128
Tabla 4. Solución por regla trapecio simple.

Se observa la tabla 4 en la cual se aplica regla del trapecio simple para determinar el área bajo la curva De esta manera, el valor de la integral es .

Solución por regla trapecio múltiple (2segmentos, 3 puntos)


Tabla 5. Solución por regla trapecio múltiple.
En la tabla 5 se aplica regla del trapecio múltiple para determinar el área bajo la curva De esta manera, el valor de la integral es . Se observa que se evalúa en puntos dividiendo la curva en segmentos.


Solución por regla de Simpson 1/3 aplicación simple (2 segmentos, 3 puntos)


Tabla 6. Solución por regla de...