Operador Sumatoria

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Operador Sumatoria ∑




Cuando, producto de una medición u observación de un fenómeno cualquiera obtenemos números diferentes, llamamos a esos números una variable; y la designamos, en genérico, por una letra, por ejemplo X, o Y, o Z. Supongamos que tenemos los siguientes valores de edades de un grupo de doce niños, y llamamos a la edad X, para identificarla de alguna manera, como esconveniente en estadística. Así, X: 3, 8, 5, 12, 7, 8, 9, 4, 4, 5, 3, 6. En total 12 valores.

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El ordenador (X: 3, 8, 5, 12, 7, 8, 9, 4, 4, 5, 3, 6). El primero de esos valores es 3, el segundo 8, el tercero 5, el cuarto 12, … y así sucesivamente hasta llegar al décimo segundo valor = 6. Es decir, estos valores están ordenados, tienen una posición dada, ypara señalar este orden usamos una letra: i ó j y lo llamamos el ordenador. Si nos referimos al quinto valor, decimos i = 5; por tanto, Xi=5 = 7. Que se lee: el quinto valor de la variable X es 7. En el ejemplo que nos ocupa, i va desde 1 hasta 12 y si llamamos n al total de valores, en el ejemplo n = 12, de manera que los valores van desde i = 1 hasta i = 12. Y en general, los valores van desdei=1 hasta i = n.

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El llamado operador sumatoria es una convención matemática para sustituir con un solo símbolo (∑) la operación de suma de varios valores, estén estos definidos o no. La letra ∑ es una letra griega (sigma mayúscula). Parámetro : Son las medidas o datos que se obtienen sobre la distribución de probabilidades de la población. Estadístico. Losdatos o medidas que se obtienen sobre una muestra y por lo tanto una estimación de los parámetros.

Algunos símbolos
Estadístico Media Desviación estándar Varianza X S S2 Parámetro

µ

σ σ2

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En estadística es muy usual la suma de varios valores; es la operación más usual del cálculo y en definiciones estadísticas. Ejemplo: Súmense los valores de la variable X(edad) desde el primero hasta el doceavo valor”.
• 12 • ∑ Xi = 3 + 8 + 5 + 12 + 7 + 8 + 9 + 4 + 4 + 5 + 3 + 6 = 74 • i=1

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Si nos referimos a la suma de tan sólo un grupo de ellos, por ejemplo: “Súmense los valores de las edades, X, desde el tercero hasta el octavo”
8 Bastaría con: ∑ Xi = 5 + 12 + 7 + 8 + 9 + 4 = 45 i=3



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Si, porejemplo, nos referimos, en forma abstracta, a un conjunto de n valores obtenidos mediante medición, la suma de dichos valores sería:
X1 + X2 … + Xi + … + Xn-1 + Xn.







i=n Pero mejor y de manera más conveniente: ∑ Xi i=1 Lo cual se lee: sumatoria de los valores de la variable X, desde el primer valor (i = 1), hasta el enésimo valor, n.

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De la destreza conque se maneje este símbolo y lo que significa, dependerá, en mucho, la comprensión de definiciones y métodos estadísticos.
Caso I Si los valores de una variable, digamos Wj, son: 8, 5, 7, 7, 3, 9, 6, 5. (ocho valores en total; es decir, n = 8),
8 • Ejemplo 1: ∑ Wj = 8 + 5 + 7 + 7 + 3 + 9 + 6 + 5 = 50 1 5 Ejemplo 2: ∑ Wj = 8+ 5 + 7 + 7 + 3 = 30 1

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Ejercicio






Supongamos queestos son valores obtenidos en una medición de una variable Z: 4, 12, 10, 10, 7, 11, 8, 8, 9, 6, 5, 6; son doce valores en total, es decir, n = 12. Resuelva:
12 a) ∑ Zk = k= 1 6 b) ∑ Zk = k=1 12 c) ∑ Zk = k=6 9 d) ∑ Zk = k=3

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Caso II (Sumatoria de un valor constante). En el caso donde el conjunto de n números a obtener o suponer es un valor constante, g, la suma deellos:
n ∑ gi = g1 + g2 + g3 + g 4 + … + gi + … + gn-1 + gn = n g i=1 Es decir, es tomar a la constante n veces. Ejemplo: si tenemos un valor constante k, digamos 6, ocho veces: 8 ∑ ki = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 8 (6) = 48 i=1

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Caso III. Sumatoria de un valor constante, digamos k, multiplicado por un valor variable, digamos Xj, n veces:
n

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