Operadores Diferenciales

Operadores Diferenciales:Gradiente, divergencia y rotacional
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Gradiente
 
 


En esta imagen, el campo escalar se aprecia en blanco y negro, representando valores bajos o altos respectivamente, y el gradientecorrespondiente se aprecia por flechas azules.
 
 
          El gradiente normalmente denota una dirección en elespacio según la cual se aprecia una variación de una determinada propiedad o magnitud física.
En otros contextos se usa informalmente gradiente, para indicar la existencia de gradualidad o variación gradual en determinado aspecto, no necesariamente relacionado con la distribución física de una determinada magnitud o propiedad.
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Definición
 
          El gradiente de un campoescalar, que sea diferenciable en el entorno de un punto, es un vector definido como el único que permite hallar la derivada direccional en cualquier dirección como:

siendo  un vector unitario y  la derivada direccional de  en la dirección de , que informa de la tasa de variación del campo escalar al desplazarnos según esta dirección:

Una forma equivalente de definir el gradiente es como el únicovector que, multiplicado por cualquier desplazamiento infinitesimal, da el diferencial del campo escalar:

Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:

 
 
Interpretación del Gradiente
 
     De forma geométrica el gradiente es un vector que se encuentra normal a una superficie ocurva en el espacio a la cual se le esta estudiando, en un punto cualquiera, llamese , ,  etcétera. Algunos ejemplos son:
Considere una habitación en la cual la temperatura se define a través de un campo escalar, de tal manera que en cualquier punto , la temperatura es . Asumiremos que la temperatura no varia con respecto al tiempo. Siendo esto así, para cada punto de la habitación, el gradienteen ese punto nos dará la dirección en la cual se calienta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido se calienta en esa dirección.
Considere una montaña en la cual su altura en el punto  se define como . El gradiente de H en ese punto estará en la dirección para la que hay un mayor grado de inclinación. La magnitud del gradiente nos mostrará cuán empinada se encuentra la pendiente. 
 
 
Aproximación lineal de una función
 
El gradiente de una función f definida de Rn a R caracteriza la mejor aproximación lineal de la función en un punto particular x0 en Rn. Se expresa así:

donde  es el gradiente evaluado en x0.
 
 
Propiedades
 
El gradiente verifica que:
Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por  =cte..
Apunta en la dirección en que laderivada direccional es máxima.
Su módulo es igual a esta derivada direccional máxima.
Se anula en los puntos estacionarios (máximos, mínimos y puntos de silla)
El campo formado por el gradiente en cada punto es siempre irrotacional, esto es,

 
 
Expresión en diferentes sistemas de coordenadas
 
A partir de su definición puede hallarse su expresión en diferentes sistemas de coordenadas.En coordenadas cartesianas, su expresión es simplemente
 
 
En un sistema de coordenadas ortogonales, el gradiente requiere los factores de escala, mediante la expresión

Para coordenadas cilíndricas (hρ = hz = 1, ) resulta

y para coordenadas esféricas (hr = 1, hθ = r, )
 
 
 
 
Gradiente de un campo vectorial
 
En un espacio euclídeo, el concepto de gradiente también puedeextenderse al caso de un campo vectorial, siendo el gradiente de  un tensor que da el diferencial del campo al realizar un desplazamiento

Este tensor podrá representarse por una matriz , que en coordenadas cartesianas está formada por las tres derivadas parciales de las tres componentes del campo vectorial.
 
Ejemplo [editar]
Dada la función f(x,y,z) = 2x + 3y2 − sin(z) su vector gradiente es:
 ...