La fisica de los operadores vectoriales diferenciales

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La Física de lo s o p era dor es
vectoriale s d ifere ncia le s
Por Francisco LOPEZ RUPERE2 (")

1.

INTRODUCCION

Un defecto comúnmente imputado a la enseñanza
de las ciencias positivas en la Universidad española
es el de pasar con frecuencia por alto ciertos aspectos
conceptuales que están a la base de una comprensión
profunda de los fenómenos en cuyo estudio y descripción seestá interesado. Si bien es verdad que los
alumnos que acceden a las diferentes facultades y
escuelas técnicas han de disponer ya de un razonable
bagaje de fundamentos bien establecidos, no lo es
menos que a medida que se levanta, bajo el prisma
de la didáctica, el edificio de la ciencia, no debería
perderse de vista el significado de la naturaleza
misma de los «materiales empleados» o delas «herramientas utilizadas», en aras de un, a veces alocado,
proceso de construcción formal. Multitud de estudiantes de Ciencias son capaces de reproducir un
largo desarrollo matemático que concluye en una
bella ecuación, pero sólo unos pocos sabrían interpretar, en términos físicos, los elementos que intervienen, porque «el bosque les ha impedido ver los
árboles».
EI presente trabajopretende insistir en el significado
fisico de los operadores vectoriales diferenciales y
detenerse, desde un punto de vista fundamentalmente
conceptual e intuitivo, en las relaciones que ellos
presentan. Sería absurdo, dada la naturaleza del tema
que nos ocupa, pretender prescindir de todo aparato
matemático; no obstante, en la medida de lo posible,
se rehuirá de las demostraciones formales quepueden
encontrarse y comprenderse, sin demasiada dificultad, en buen número de textos básicos.
A pesar de que la aplícacíón directa de algunos de
tos conceptos en los que nos detendremos a la
Didáctica de la Física en BUP o COU resulta a todas
luces excesiva, la de otros puede ser útil, sobre todo
a este último nivel. En cualquier caso es el propósito
de esta modesta aportación que elgradiente, la
divergencia, el rotacional, etc., sean algo más que
«operadores hambrientos de a/go que derivan>.
2.

z

Y

Figura 1

EI operador nabla (gradiente) se define matenáticamente como:

^

áx^+^Y f+8zk

(1)

por lo que grad q^ = V^ es decir:
^^(r) _^^i+ á^ j+ á^ k
V

(2)

Recordando que:
d^ = áxdx+áydy+aZdz

EL GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR

2.1. AI hablar de uncampo escalar nos referimos
a la expresión funcional de una magnitud ^, no
dirigida, que varia de un punto a otro en el espacio
donde es observable, ésto es medible. Bastará pues
el conocimiento de dicha dependencia en términos
de función,

dr = dxi + dyj + dzk
y comparando ambas expresiones con ia (2) se
obtiene obviamente la relación:

d^ = ó^. d^

(3)

^ _ ^ (x, y, z) _ ^ (r)
paraquedar bien definido un campo escalar ^ en un
recinto dado.

(') Catedr8tico de Fisica y Qufmica del I.N.B. «García
Morato» de Madrid.

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que nos permitirá aproximarnos al contenido físico
del operador gradiente.
La ecuación (3) puede escribírse también como:

curvas planas de ^= cte, a lo l argo de ellas se verificará que: d^ = 0, p^r tanto ay^ . dr = 0, o lo que
es lo mismo ^^ ^dr, donde dr representa ahora un
elemento diferencíal orientado de isolfnea. Asf pues
conclufmos que, si existe, el vector gradiente en un
punto es ortogana/ a/a isalinea que pasa por él.

EI significado riguroso de esta expresíón hay que
buscarlo, desde luego, en ( 3), pero sirve de por sf
para evidenciar que el gradiente de una magnitud
escalar representa una variación e ^ pacialdirigida
de tal magnitud. Se trata pues de una derivada
direccional.
La ecuación ( 3) esconde una descripción aún
más detallada del gradiente. En efecto, si consideramos un desplazamiento de longitud dl er^ una dirección genérica determinada por el versor u, odremos
r
escribir d~ = dlu y por consiguiente d^ _^^. udl,
es decir:
a^=ó .ú
^
dl

(5)

esta ecuación muestra que la componente del...