Operador diferencial

Operador diferencial

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Operador diferencial
En matemáticas, un operador diferencial es un operador lineal definido como una función del operador de diferenciación. Ayuda, como una cuestión denotación, considerar a la diferenciación como una operación abstracta, que acepta una función y regresa otra (al estilo de una función de orden superior de las ciencias de la computación).

Caso conuna variable
El uso más común del operador diferencial es la acción de tomar la derivada en sí misma. Las notaciones comunes de este operador incluyen:

Las dos primeras se usan fundamentalmentecuando se quiere hacer explícitca la variable respecto a la cual se toman las derivadas ordinarias, la última forma sólo se usa cuando por el contexto está claro cual es la variable respecto a la quese deriva (sin necesidad de explicitarla). Las primeras derivadas se toman como arriba pero, para las derivadas de orden superior, las n-ésimas, son útiles los siguientes cambios:

Operadoreslineales ordinarios
• El uso y la creación de la notación D se debe a Oliver Heaviside, quien consideraba los operadores diferenciales lineales ordinarios de la forma:

en su estudio de las ecuacionesdiferenciales. • La derivada simple es, como se ha dicho, un operador diferencial lineal sobre el conjunto de funciones reales de variable real. • Una ecuación diferencial ordinaria se puede expresarmediante un operador lineal en la forma es la función incógnita. , donde

Propiedades de los operadores diferenciales
• La diferenciación es lineal, i.e.

en donde f y g son funciones y a es unaconstante. • Cualquier polinomio en D con funciones como coeficientes es también un operador diferencial. También se pueden componer operadores diferenciales con la regla

• Esta última propiedad dotaal conjunto de los operadores lineales, sobre un cierto espacio de funciones reales, de estructura de espacio vectorial sobre y de modulo izquierdo sobre el mismo conjunto de funciones. Eso último...