Optimizacion Dinamica_2013

1
Curso de Optimización Matemática
OSINERGMIN
XI Curso de Extensión Universitaria 2013
Profesor: Ramón García-Cobián Jáuregui
Notas de clases basadas en el texto de E. Cerdá Tena, Optimización Dinámica.

1. Cálculo de Variaciones
Formulación del problema (PCV): Dados los momentos t0 < t1 en R, la función de
clase C2, F: R3→R, y los estados a y b en R; se quiere hallar una función de clase C2,
t1x(⋅), que maximice la

∫ F ( x(t ), x& (t ), t )dt

sujeta a: x(t0) = a y x(t1) = b.

t0

Nótese que si el problema consistiera en minimizar, en vez de maximizar, no haría falta
una nueva teoría, pues la solución que minimiza la integral de F es la que maximiza la
integral de –F.
Ejemplo: Hallar la función real de variable real cuya gráfica tenga longitud mínima
entre las que pasan por dos puntosdados, (a, α) y (b, β), siendo a ≠ b.
b

Este problema se formula como: min

∫

1 + x& (t ) 2 dt sujeto a: x (a) = α ∧ x (b) = β.

a

Nociones preliminares:
En el conjunto Ω de las funciones reales de clase C2 definidas en [t0 , t1] , se definen las
operaciones de adición y de multiplicación por escalares así:
1º) Si x ∈Ω ∧ y ∈Ω, entonces x + y : [t0, t1] →R, se define por (x + y) (t):= x(t) +y(t).
2º) Si x ∈Ω ∧ γ ∈R, entonces γ x : [t0, t1] →R, se define por (γ x)(t):= γ x(t).
Se comprueba fácilmente que Ω, provisto de estas dos operaciones, es un espacio
vectorial real. Ahora bien, en dicho espacio vectorial se define una norma así:
x := max {|x(t)|: t∈[t0, t1]}.
Ejemplos: Si t0 = 1 y t1 = 5, entonces para x(t) = t2, será x = max {t2 : t ∈ [1, 5]} = 25;
y si y(t) = 1 + t – t2/4, setendrá y = max {ñ1 + t – t2/4ñ : t ∈ [1, 5]} = 2.
Dada una norma en un espacio vectorial, ella induce una métrica en él, i. e., una función
de distancia entre elementos del espacio, como se indica a continuación. Si x y y son
elementos de Ω, entonces la distancia entre ellos será d (x, y):= x - y .
Así, para las funciones del ejemplo sería d(x, y) = max{ñt2 – (1 + t – t2/4)ñ: t∈[1, 5]} =
25¼.Teniendo ya una métrica el espacio vectorial, en él puede definirse la bola abierta de
centro x y de radio r como B(x, r):= {z∈Ω : d(x, z) < r}.

2
En el contexto de optimización, se distingue entre máximo global y máximo local.
El primero es el que lleva a su máximo valor posible a la integral de la función objetivo;
el segundo es uno tal que en alguna bola abierta centrada en él, ningún otro elementolleva a la integral de la función objetivo a un valor mayor que el que alcanza con el
máximo local. Así, x* de Ω es un máximo global del PCV si ∀y de Ω,
t1

t1

t0

t0

∫ F ( x * (t ), x& * (t ), t )dt ≥ ∫ F ( y (t ), y& (t ), t )dt si es que y(t0) = a = x*(t0) ∧ y(t1) = b = x*(t1).
Pero, una x de Ω es un máximo local del PCV si ∃ r > 0 tal que ∀ y de B(x, r), se tiene
t1

t1

t0

t0

que ∫ F (x(t ), x& (t ), t )dt ≥ ∫ F ( y (t ), y& (t ), t )dt si es que y(t0) = a = x(t0) ∧ y(t1) = b = x(t1).
Ecuación de Euler como condición necesaria de primer orden:
Teorema: Una función x de Ω es un máximo local del PCV sólo si satisface a la
d
Fx& ( x(t ), x& (t ), t )
siguiente ecuación diferencial, llamada de Euler: 0 = Fx ( x(t ), x& (t ), t ) dt
∂F
∂F
dF
en [t0, t1]. En esta ecuación Fx :=
, Fx&:=
y
es la derivada total de F:
∂x
∂x&
dt
Fx ( x(t ), x& (t ), t ) x& + Fx& ( x(t ), x& (t ), t ) &x& + Ft ( x, x& , t ) .
Ejemplo:
b

∫

Para el PCV de la página anterior, min

1 + x& (t ) 2 dt sujeto a: x (a) = α ∧ x (b) = β,

a
b

vemos que, ya que él equivale a: max ∫ − 1 + x& (t ) 2 dt sujeto a: x (a) = α ∧ x (b) = β ,
a

se tendrá : F ( x(t ), x& (t ), t ) = − 1 + x& (t ) 2 , por lo que Fx =0 y Fx& =

− x&
(1 + x& 2 )

.

Entonces, la ecuación de Euler es: 0 = ( 1 + x& (t ) 2 )-3/2 &x& , i. e., 0 = &x& , ya que el otro factor
es distinto de 0. Las soluciones de esa ecuación diferencial son todas las que se obtienen
dando valores arbitrarios a los parámetros h y k en x(t) = h + kt. Entre ellas, las
condiciones extremas exigen que α = h + a k ∧ β = h + kb, de donde sólo queda que k...