optimizacion

 Optimización de una o varias Variables:

Teorema de Taylor

Caso de una variable:
Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a: Є (a, d) mediante un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. Más formalmente, si ≥ 0 es un entero y una función que es derivable veces en el intervalo cerrado[ , ] y +1 veces en el intervalo abierto ( , ), entonces se cumple que:

O en forma compacta

Donde denota el factorial de , y es el resto, término que depende de y es pequeño si está próximo al punto . Existen dos expresiones para que se mencionen a continuación:

Donde y , pertenecen a los números reales, a los enteros y es un número real entre y :2

Si esexpresado de la primera forma, se lo denomina Término complementario de Lagrange, dado que el Teorema de Taylor se expone como una generalización del Teorema del valor medio o Teorema de Lagrange, mientras que la segunda expresión de R muestra al teorema como una generalización del Teorema fundamental del cálculo integral.
Para algunas funciones , se puede probar que el resto, , se aproxima acero cuando se acerca al ∞; dichas funciones pueden ser expresadas como series de Taylor en un entorno reducido alrededor de un punto y son denominadas funciones analíticas.
El teorema de Taylor con expresado de la segunda forma es también válido si la función tiene números complejos o valores vectoriales. Además existe una variación del teorema de Taylor para funciones con múltiplesvariables.
Demostración:

Un cálculo rutinario permite ver que la derivada de esta función cumple que:

Se define ahora la función G como:

Es evidente que esta función cumple , y al ser esta función diferenciable, por el teorema de Rolle se sigue que:

Y como:

Se obtiene finalmente que:







• Caso de varias variables
El teorema de Taylor anterior (1) puede generalizarseal caso de varias variables como se explica a continuación. Sea Buna bola en RN centrada en el punto a, y f una función real definida sobre la clausura cuyas derivadas parciales de orden n+1 son todas continuas en cada punto de la bola. El teorema de Taylor establece que para cualquier :

Donde la suma se extiende sobre los multi-índices α (esta fórmula usa la notación multi-índice). Elresto satisface ladesigualdad:

para todo α con |α|=n+1. Tal como sucede en el caso de una variable, el resto puede expresarse explícitamente en términos de derivadas superiores (véase la demostración para los detalles).
Demostración:
Para demostrar el teorema de Taylor para el caso multidimensional, considérese un función o campo escalar, que suponemos continuo y, para simplificar lo expuesto(aunque una generalización es trivial), de clase . Sea una función vectorial que va de , y definámosla como (de ahora en adelante, se omitirán las flechas de los vectores). Pongamos .Ahora hagamos y recordemos que . Notemos ahora que:

Ahora, derivando sucesivas veces, encontramos que podemos poner de forma muy cómoda:

donde el exponente sobre el gradiente es entendido comolas sucesivas veces que hacemos el gradiente; es decir, hacemos el producto escalar que está dentro del paréntesis, luego volvemos a derivar otra vez la función, obteniendo otro producto escalar, y así "n" veces. Ahora, empleando el teorema de Taylor para una variable real, expandimos en su serie de McLaurin:

y haciendo t=1 y sustituyendo las derivadas por las expresiones antes hallada seevidencia que:

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El Método Simplex:
El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de variables.
El Método Simplex es un método iterativo que permite ir mejorando la solución en cada paso. La razón matemática de esta mejora radica en que...