Optimizacion

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CHIAPAS
FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS
CAMPUS IV
TAPACHULA, CHIAPAS





MATEMATICAS






ING. MARCO JIMENO






PROBLEMAS OPTIMIZACIÓN












TAPACHULA, CHIAPAS, MAYO DEL 2012.





Problemas de optimización

1. Con un alambre de 100 cm. Se puede construir distintos rectángulos. Determinar las dimensiones del rectángulode mayor área construible con el alambre.











Método de la primera derivada



P´ (24)= 50-2x

=50-2(24)

=50-48

=2

P´ (26)=50-2x

=50-2(26)

=50-52

=-2

Método de la segunda derivada

A=50x-x2

A= 50x-2x=0

50-2x=0

0-2=x

X=-2





















2.Calcule el mínimo perímetro posible de un rectángulo cuya área sea 25 pulgadas cuadradas.





















Metodo de la promera derivada

P´ (4)= 2-50/x2

=2-50/(4)2

=2-50/16

=-18



P´ (6)=2-50/x2

=2-50/(6)2

=2-50/36

=22















3. En un círculo de 4 cm, de radiose pueden inscribir distintos rectángulos. Determina aquel rectángulo inscrito que tiene el área máxima.







A= [pic]

A(a)=[pic]

A´(a)= (64-a2)1/2(1/2) + (a/2)1/2 +(a/2)1/2(64-a2)-2a

Se iguala a 0 para encontrar los puntos críticos

(64-a2)1/2(1/2) + a(a/2) (64 - a2)1/2 =0
(64-a2)1/2(1/2)=[pic]
(64-a2)1/2 (64 +-a2)1/2 (1/2) =0
(64 +-a2) (1/2)=0
64 +-a2= a2
2a2=64a2=[pic]
.[pic]=[pic]
A=[pic] . [pic] = 4.[pic]

































4. Se van a fabricar cajas sin tapa de una lámina de 18 x 15 cm. L cortar cuadrados en las esquinas y doblar cejas. Determina de que longitud hay que cortar los cuadrados en las esquinas para que la caja construida tenga el mayor volumen posible.









V= (l) (a) (h)V= (18-2x) (15-2x) (x)

V´(x)= (-2) (15-2x) (x) + (-2) (18-2x) (x) + (1) (18-2x) (15-2x)

V´(x)= -30x +4x2 -36x + 4x2 +270 -36x + 4x2 30x

V´(x)= 12 x2 -132x +270

12x2 -132x + 270= 0

V´(x)= (6) (2x2 – 22x + 45)= 0

2x2 – 22x + 45= 6

V(x)= -(-22)+/- [pic]2 – 4 (2) (45) / 2 (2)

V(x)= 22 +/- [pic] – 360 /4

V(x)= 22 +/- [pic]/4 = 22+ /- 11.1355 /4

X1= 33.1355/4 =8.27X2= 22 - 11.1355 / 4 =2.7161

V (2)= 270 -132 (2) + 12 (4)= 54

V (3)= 270 – 132 (3) + 12 (9)= -18









5. Determina las dimensiones de la caja con tapa de base cuadrada que tiene un área superficial de 200 cm2 y que encierra el mayor volumen posible.























Formula para sacar el área de una cara es xy [pic] =4xy

A= 2x2 +4xy

200= 2x2 + 4xy método de la 2da derivada

200 –2x2 =4xy P’= 50 - 3x2/2

200 –2x2 = 4 P’= 0 3x2/0
Xy P’= -3x2
Y= 50/x – x/2 P’= -2(3)X2
Y= 10 / [pic] P’= -6x simplificando…
P’= -3x es cóncavo hacia abajo por lo tanto se encuentra .en un punto máximo.
V= x2 + y [pic] V=(10/[pic] )3

V= x2 ( 50/x – x/2)

V= 50x2/x – x3/2)

V’= (50 – 3x2 )/2

50 - 3x2/2 = 0

-3x2/2 = -50

3x2 = 100 x = 100/[pic]3























6. De todos los triángulos isósceles de 18 cm. De perímetro, diga cuál es el que tiene la mayor área.7.- En época navideña, un supermercado decide cerrar un área de 800 m2 al lado de un edificio, hacia el estacionamiento, para exhibir los árboles de navidad. Un lado estará formado por la pared externa de la tienda, los lados perpendiculares a la pared de la tienda...