Origen de las conicas

´ LAS CONICAS Y SUS APLICACIONES
Pedro Alegr´ (pedro.alegria@ehu.es) ıa

Adem´s de las rectas, c´ a ırculos, planos y esferas que conoce cualquier estudiante de Euclides, los griegos sab´ las propiedades de las curvas que se obtienen al cortar un ıan cono con un plano: la elipse, la par´bola y la hip´rbola. Kepler descubri´ al analizar a e o sus observaciones astron´micas -y Newton lo demostr´matem´ticamente sobre la o o a base de la ley universal de la gravitaci´n- que los planetas describen elipses. As´ se o ı hizo de la geometr´ de la Grecia antigua piedra angular de la astronom´ moderna. ıa ıa J. L. Synge (1897-1995)

´ INDICE 1. Origen de las c´nicas. o 2. Distintas definiciones de c´nica. o 3. Construcci´n de c´nicas. o o 4. Propiedades reflexivas. 5. Los ´valos. o 6.Clasificaci´n de una c´nica. o o 7. Propiedades varias. 8. C´nicas en la vida real. o

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1.

´ ORIGEN DE LAS CONICAS.

Como ha sucedido en numerosas ocasiones, importantes creaciones en matem´ticas no tuvieron a un origen que pronosticara su relevancia posterior. Uno de estos casos es el de las conocid´ ısimas c´nicas, en un principio estudiadas casi por simple diversi´n, pero de tan variadasaplicaciones o o en muchas ramas de la ciencia. Como es sabido, fue Apollonius de Perga, en el siglo III a.C. el primero que las introdujo p´blicamente, escribiendo el m´s importante tratado antiguo sobre u a las secciones c´nicas, aunque ya en el siglo anterior Menaechmus hab´ escrito el primer tratado o ıa sobre c´nicas. Lo que no es tan conocido es que el motivo que origin´ esta craci´n no fue o o oprecisamente el de explicar las ´rbitas de los planetas ni construir aparatos de radar, sino el de o buscar soluciones s´lo con regla y comp´s de los tres famosos problemas griegos que hoy sabemos o a irresolubles, como son el de la duplicaci´n del cubo, la trisecci´n del ´ngulo y la cuadratura del o o a c´ ırculo. Durante muchos siglos, las c´nicas fueron descartadas en los trabajos de losmatem´ticos hasta o a que volvieron s´bitamente a la vida, al comprobarse que el mundo que nos rodea est´ lleno de u a secciones c´nicas. En la elipse encontr´ Kepler la respuesta al enigma del movimiento planetario, o o descubriendo que el planeta Marte (ahora sabemos que al igual que el resto de los planetas) tiene orbitas el´ ´ ıpticas y el sol est´ situado en uno de sus focos (de ah´ el nombre dado aestos puntos). a ı En base a este descubrimiento Newton enunci´ la famosa ley de la gravitaci´n universal; as´ el o o ı descubrimiento de Kepler se deduce como consecuencia matem´tica de dicha ley. Tambi´n los a e sat´lites y los cometas tienen ´rbitas el´ e o ıpticas, de mayor o menor excentricidad, lo cual es es en cierto modo providencial, pues si se tratara de hip´rbolas o par´bolas, no volver´a repetir su e a ıan ciclo. As´ mismo, Galileo demostr´ que las trayectorias de los proyectiles son parab´licas. ı o o

1.1.

Trisecci´n de un ´ngulo. o a

Hoy en d´ la propiedad menos importante de estas curvas, en vista de su utilidad para el ıa, mundo matem´tico, es precisamente que cierto par de par´bolas permite la duplicaci´n del cubo a a o y cierta hip´rbola permite trisecar un´ngulo. Como la belleza no est´ re˜ida con el inter´s, e a a n e veremos con cierto detalle esta ultima construcci´n, desechada por los mismos griegos, debido a ´ o que las mismas c´nicas no se pueden construir con regla y comp´s. o a Sea α un ´ngulo arbitrario. Se construye la circunferencia de centro O y radio OA = OB de a modo que AOB = α. Sea la recta OC bisectriz de α. Con OC como directriz y Bcomo foco, se construye una rama de hip´rbola de excentricidad e = 2. Sea P el punto de intersecci´n de la e o hip´rbola con el arco de circunferencia AB. An´logamente se obtiene el punto P utilizando A e a como foco. La situaci´n actual se representa en la figura siguiente: o
A

P’ O a D C P

B

2

Por definici´n de hip´rbola, BP = 2P D y AP = 2DP (ver secci´n 2.3). Adem´s, debido a o...