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UNET – Dpto. de Matemática y Física Asignatura: Matemática III Semestre: 2011-02 Prof. John ortega
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UNIDAD I: VECTORES EN EL ESPACIO. PLANOS Y RECTAS EN

. SUPERFICIES. FUNCIONES VECTORIALES. LONGITUD DE ARCO. CURVATURA. COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL DE LA ACELERACION

1. Sean

los

vectores

x

1, 5,2 , y

3,4, 1 , z x y z

6,3, 5 , w w

24, 26, 6 . Halla

, ,

paraque se cumpla

Resp. 6, -2 y 4

2. Dados los vectores a

1, m,1 , b

2,4, m , halla m para que los vectores
Resp. -2,

a y b sean a) Paralelos b) Ortogonales

2 5

3. Dados los vectores u

1, 1,2 , v

3,1, 1 , halla el conjunto de vectores que,
Resp.

siendo perpendiculares a u , sean coplanarios con u y v

3 , ,

,

0
.

4. Dados los vectores a y b tales que a

3,b
.

1, c

4y a

b c

O , calcula

la suma de los productos escalares a . b b . c a . c

Resp. -13

5. Halla un vector u de la misma dirección que v

1, 2,3 y tal que forme con
Resp. Hay dos

W

2,4, 1 un paralelogramo de 25 u 2
5 ,2 5 , 3 5 >

soluciones < 5 , 2 5 ,3 5 > y <

6. Halla un vector

v coplanario con a

2, 1,1

yb
Resp.

1,0,3 y ortogonal a
3 ,2, , 0

c

2,3,0

7. Sean

a y b tales

que

a

4y b

2, con

a, b

60 0 .Calcula

a

b y a b
Resp. 2 7 y 2 3

8. De dos vectores

a y b sabemos que son ortogonales y que a

6y b

10 .

Halla a

b y a b

Resp.

136

9. Calcula el ángulo que forman a y b sabiendo que a Resp.60°

3y b

5y a

b

7

10. De los vectores u y v , sabemos que cumplen uv

a , 2u

3v

b , siendo
Resp.

a

2, 1,0

yb

1,3, 1 .Halla el ángulo formado por u y v

61°26’21” 11. Sean u

1, 1,0 y w

1,1,0 .encontrar un vector v v, v
1y

3

que cumpla las tres <

condiciones siguientes: u

3

( v y w)

Resp.

2 2 , , 4 4

3 > 2

12. Sean u vector

3,1,0 y w v
v
3

2,2,0 v
w

. Consideremos el problema de determinar untal que

x, y, z y que cumpla las dos condiciones:

Pr oy
u

2u y v

Resp. 13. Encuentre todos los vectores perpendiculares tanto a u

1, 3, 2 como a
, 3 , ,

v

3,6,5

Resp.

14. Encuentre el ángulo de la diagonal principal formado por un cubo y una de sus caras Resp.35°15’ 15. Demostrar que las diagonales de un rombo son perpendiculares. 16. Una fuerza tiene unarepresentación vectorial de F

3i 2 j

k . ¿Cual será el

trabajo realizado para que esta fuerza desplace un objeto desde el punto (-2, 4,3) hasta el punto (1,-3,5)? Resp. 25 unidades de fuerza

17. Las diagonales de un paralelogramo son A

3i 4 j

k y B

2i 3 j 6k

.Demostrar que dicho paralelogramo es un rombo y hallar sus ángulos y la longitud de sus lados. Resp. 107°51’30,4” ,72°8’29,53”,

5 3 2

18. Demuestre, por medio de métodos vectoriales, que el segmento de recta que une los puntos medios de los lados de un triangulo es paralelo al tercer lado. 19. Demuestre por medio de métodos vectoriales, que los puntos medios de los lados de un cuadrilátero arbitrario son los vértices de un paralelogramo.

2

2

2

2

20. Demostrar que u x v

u .v

u.v

21. Estudia silos cuatro puntos A(1,2,-1), B(1,3,0),C(0,0,1) y D(0,2,4) son coplanarios. Resp. No

22. Calcula k para que se corten las siguientes rectas y averigua en que punto lo hacen:

r:

x 2y

z

3 1

x 5y z

s:

2x x

y

2

y kz 5

Resp. k

2, 1,0,2)

23. Dada la recta r definida por la intersección de dos planos r : escribe su ecuación en forma paramétrica.

2x x
Resp.

y2z 2 y z 1 0

0

x 1 t, y

0, z

t

24. Calcula el área del triangulo cuyos vértices son los puntos A(0,1,0), B(0,1,1) y C(1,2,1) Resp.

2 2 u 2

25. Sea el plano

: 3x 5 y

z 2

0 Halla le ecuación del plano
Resp.

paralelo al

anterior, que contiene al punto A (-3,2,4)

3x 5 y

z 15

0

26. Dadas las rectas r :

x 3

y 1 0

z y s : x, y, z 1...