Ortogonalidad

DEFINICION ORTOGONALIDA
ORTOGONAL:
Recuerde que para diagonalizar una matriz cuadrada A es necesario hallar una matriz invertible P tal que Pˉ¹ AP sea diagonal. Para matrices simétricas sedemostrara que la matriz P puede elegirse de modo que tenga la propiedad especial de que Pˉ¹=Pt.Esta propiedad matricial poco común se define como sigue:
DEFINICIO DE MATRIZ ORTOGONALUna matriz cuadrada Pse denomina ortogonal si es invertible yP-I=Pt |
ORTOGONALIDAD
Decimos que dos vectores en Rⁿ, ȳ ,x̄ ϵ ℝⁿ so n ortogonales si
‹ȳ, x̄›=0
La proyección de y sobre x se define como:
PX y= ‹xy ›xx ²Dados dos vectores u1 y u2 pertenecientes a un espacio vectorial de dimensión n y una matriz A de dimensión, si el productor escala, notado, es igual a cero, se dice que u1 y u2 son ortogonalesrespecto a la matriz A o A-ortogonales. Un conjunto de n vectores se dice que forma una base A-ortonormal si para todo i, j = 1,..., n.
ORTOGONAL EN UN SUBESPACIO
Diremos que un vector U ϵ ℝⁿ esortogonal a un subespacio S de ℝⁿ, si y solo si, el vector u es ortogonal a todos y cada uno de los vectores del subespacio S, es decir
U·V=0 V ϵ S
No es necesarioverificar los infinitos productos escalares que se sugiere para verificar su ortogonalidad de un vector a un subespacio; en realidad, es suficiente y necesario que el vector sea ortogonal a un conjuntogenerado del subespacio, como lo plantea el siguiente teorema
CARACTERIZACION DE ORTOGONALIDAD DE UN VECTOR A UN SUBESPACIO
Un vector U que pertenece a ℝⁿ es ortogonal al subespacio S=Gen (v₁,v₂,…vk), si y solo si el vector es ortogonal a los vectores v₁, v₂,…vk.
Podemos utilizar el concepto de ortogonalidad de un vector a un subespacio para expresar cualquier vector de Rⁿ como la suma de dosvectores ortogonales, con uno de ellos perteneciente al subespacio. Además este último vector define el punto del subespacio más cercano al punto definido por el vector definido así como lo muestra...