Oscilaciones De Un Muelle Real

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OSCILACIONES DE UN MUELLE REAL


OBJETIVO Determinar teóricamente la fracción de masa de un muelle real (masa efectiva o masa equivalente) que oscila junto con otra masa unida a uno desus extremos.

HIPÓTESIS Se supone que la velocidad de cada espira del muelle es proporcional a la distancia de ésta al extremo fijo.

SIMPLIFICACIONES (A) La distribución de masa en el muelle eshomogénea a lo largo de todas sus espiras; (B) Se consideran espiras muy juntas (el paso de hélice del muelle es pequeño, inferior a 1 mm); (C) El sistema es conservativo.

MODELO Muelle horizontalde masa M, fijo por un extremo. En el extremo opuesto hay una masa puntual de valor m0.
Se considera la oscilación conjunta de m0 y de un elemento de masa dM del muelle (pocas espiras), de longituddl, situado a distancia l del extremo fijo. Este elemento de masa se indica en la figura con una franja sombreada.
[pic]

Tomemos el instante de la oscilación en el que el muelle tiene longitud L.Sea v la velocidad del elemento de masa dM, de anchura dl. Por la hipótesis de proporcionalidad

[pic] (1)

siendo K una constante con dimensiones T-1 que depende de las característicasestructurales del muelle. Según (1), el extremo derecho del muelle y, por tanto, la masa m0, oscila con velocidad v(l = L) = KL ( vd. El extremo izquierdo, al estar fijo, no oscila, es decir, v(l = 0) = 0 (vi. Los subíndices d e i indican, respectivamente, derecho e izquierdo.
La simplificación (A) permite escribir [pic]= constante, de donde [pic]. Para el elemento de masa dM se tendrá análoga relación:[pic] (2)
La energía cinética de dM en el instante considerado será
[pic] (3)

donde se ha puesto v en vez de v(l) por simplificar la notación.

Como dM está a distancia l del extremofijo, sustituimos (1) y (2) en (3) para escribir la energía cinética en función de la variable l:

[pic]
expresión que da la energía cinética del elemento dM que tiene anchura dl y está a distancia l...