Otras Distribuciones

CAPÍTULO VII
Otras distribuciones particulares
Además de las distribuciones que hemos presentado en los capítulos sobre los procesos de Bernoulli y Poisson, y de la distribución normal, hay otras distribuciones interesantes y bastante comunes.

Distribución Multinomial
• Esta distribución es un caso general de la binomial, en el cual la cantidad de resultados posibles de cada experimentoindividual no es 2 (éxito y fracaso) sino k. Entonces tenemos que cada experimento arrojará 1 entre k resultados posibles E 1, E 2 , ..., E k. • p 1, p 2, ..., p k son las probabilidades de que salgan los resultados E 1, E 2, ..., E k respectivamente. Es decir, p i = P(E i) con i ∈ [1 ; k]. • El proceso consiste en hacer ese experimento n veces en forma independiente. • Se toman las variables X 1,X 2, ..., X k como la cantidad de veces, dentro de las n, que sale el resultado E 1, E 2, ..., E k respectivamente.

P ( X 1 = x1 ∩ X 2 = x 2 ∩ ... ∩ X k = x k ) = n! ∏
k i =1

p i xi xi !

Observaciones
• Como siempre tiene que obligatoriamente salir uno de los resultados E 1, E 2, ..., E k, entonces

∑p
k i =1

i

=1
y además

∑X
k i =1

i

=n

Problemas típicos:
1)El 10% de los gatos que existen en una ciudad son rayados, el 30% son manchados, y el 60% son lisos. Si en un callejón de esa ciudad hay 10 gatos, cuál es la probabilidad de que haya: a) 4 lisos, 3 manchados y 3 rayados. b) 4 lisos y 3 manchados. c) 4 lisos. d) Sabiendo que hay 4 lisos, cuál es la probabilidad de que haya 3 manchados? Resolución:

• Observamos que si el experimento consiste enobservar un gato, hay k = 3 resultados posibles: que sea liso, que sea manchado y que sea rayado. • Observamos que cada uno de los k resultados tiene una probabilidad asociada: P(liso) = 0,6 ; P(manchado) = 0,3 ; P(rayado) = 0,1. Dichas probabilidades suman 1. • Observamos que el proceso va a consistir en observar n = 10 gatos independientes, y que la cantidad de gatos lisos más la cantidad degatos manchados más la cantidad de gatos rayados va a sumar n. Entonces las cantidades encontraremos de cada tipo de gato van a estar distribuidas multinomialmente, de la siguiente manera: n = 10 Resultados posibles: liso, manchado, rayado. P(liso) = p L = 0,6 P(manchado) = p M = 0,3 P(rayado) = p R = 0,1 XL: la cantidad de gatos lisos de los 10 que hay XM: la cantidad de gatos manchados de los 10que hay XR: la cantidad de gatos rayados de los 10 que hay Un ejemplo de este proceso podría ser:

En este ejemplo resultó ser X L = 6, X M = 2, X R = 2. Veamos ahora qué probabilidades nos piden: a) "que haya 4 lisos, 3 manchados y 3 rayados"

P( X L = 4 ∩ X M

10!⋅0,6 4 ⋅ 0,33 ⋅ 0,13 = 3 ∩ X R = 3) = = 0,014697 ⋅3!⋅3! 4!

b) "que haya 4 lisos y 3 manchados"

∑X
k

No sabemoscuántos rayados, pero sabemos que de las cantidades parciales nos va a dar la cantidad total. XL + X M:+ XR = 10 XR = 3

i =1

i

=n
es decir, que la suma

Además es fácil de ver, porque si en total hay 10, los siguientes sucesos: • "que haya 4 lisos, 3 manchados y 3 rayados" • "que haya 4 lisos y 3 manchados" son equivalentes. Por lo tanto la probabilidad es la misma que en el caso anterior:0,014697 c) "que haya 4 lisos" Acá ya no podemos aplicar lo mismo que en el ejemplo b, porque hay 2 cantidades indeterminadas. Podríamos por ejemplo calcular esta probabilidad como la sumatoria de todas las probabilidades para X L = 4 y todas las formas posibles de sumar 6 con X M y X R. Pero esto es obviamente poco práctico. Una solución mejor sería inventar una nueva categoría de gato: "noliso". Y entonces tenemos una nueva multinomial con: XL: la cantidad de gatos lisos XN: la cantidad de gatos no lisos p L = 0,6 p N = 0,4 Y luego calcular P(X L = 4 ∩ XN = 6) como vimos en la parte a. Pero la mejor forma de ver el problema consiste en darse cuenta de que cada una de las X L, X M, X R, X N es en realidad una variable binomial, cuyo p es el p i correspondiente y cuyo n es el n de la...