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Definición de variable aleatoria[editar]
Concepto intuitivo[editar]
Una variable aleatoria puede concebirse como un valor numérico que está afectado por el azar. Dada una variable aleatoria no es posible conocer con certeza el valor que tomará esta al ser medida o determinada, aunque sí se conoce que existe una distribución de probabilidad asociada al conjunto de valores posibles. Por ejemplo,en una epidemia de cólera, se sabe que una persona cualquiera puede enfermar o no (suceso), pero no se sabe cuál de los dos sucesos va a ocurrir. Solamente se puede decir que existe una probabilidad de que la persona enferme.

Para trabajar de manera sólida con variables aleatorias en general es necesario considerar un gran número de experimentos aleatorios, para su tratamiento estadístico,cuantificar los resultados de modo que se asigne un número real a cada uno de los resultados posibles del experimento. De este modo se establece una relación funcional entre elementos del espacio muestral asociado al experimento y números reales.

Definición formal[editar]
Una variable aleatoria (v.a.) X es una función real definida en el espacio muestral, Ω, asociado a un experimento aleatorio.1 2X:\Omega\to \mathbb R

La definición formal anterior involucra conceptos matemáticos sofisticados procedentes de la teoría de la medida, concretamente la noción de espacio de probabilidad.3 4

Dado un espacio de probabilidad (\Omega, \mathcal{A}, P) y un espacio medible (S, \Sigma), una aplicación X: \Omega \longrightarrow S es una variable aleatoria si es una aplicación\mathcal{A},\Sigma-medible.

En la mayoría de los de \mathbb{R}), quedando pues la definición de esta manera:

Dado un espacio de probabilidad (\Omega,\mathcal{A},P) una variable aleatoria real es cualquier función \mathcal{A}/\mathcal{B}(\mathbb R)-medible donde \mathcal{B}(\mathbb R) es la σ-álgebra boreliana.

Rango de una variable aleatoria[editar]
Se llama rango de una variable aleatoria X y lodenotaremos RX, a la imagen o rango de la función X, es decir, al conjunto de los valores reales que ésta puede tomar, según la aplicación X. Dicho de otro modo, el rango de una v.a. es el recorrido de la función por la que ésta queda definida:...

R_X = \{x\in\mathbb R |\ \exists \, \omega\in \Omega : X(\omega) = x \}

Ejemplo[editar]
Supongamos que se lanzan dos monedas al aire. El espaciomuestral, esto es, el conjunto de resultados elementales posibles asociado al experimento, es

\Omega = \left\{\textrm{cc, cx, xc, xx}\right\},
donde (c representa "sale cara" y x, "sale cruz").

Podemos asignar entonces a cada suceso elemental del experimento el número de caras obtenidas. De este modo se definiría la variable aleatoria X como la función

X:\Omega\to \mathbb R
dada por\textrm{cc} \to 2
\textrm{cx}, \textrm{xc} \to 1
\textrm{xx} \to 0
El recorrido o rango de esta función, RX, es el conjunto

R_X = \left\{0, 1, 2\right\}
Caracterización de variables aleatorias[editar]
Tipos de variables aleatorias[editar]
Para comprender de una manera más amplia y rigurosa los tipos de variables, es necesario conocer la definición de conjunto discreto. Un conjunto esdiscreto si está formado por un número finito de elementos, o si sus elementos se pueden enumerar en secuencia de modo que haya un primer elemento, un segundo elemento, un tercer elemento, y así sucesivamente5

Variable aleatoria discreta: una v.a. es discreta si su recorrido es un conjunto discreto. La variable del ejemplo anterior es discreta. Sus probabilidades se recogen en la función decuantía. (Véanse las distribuciones de variable discreta).
Variable aleatoria continua: una v.a. es continua si su recorrido no es un conjunto numerable. Intuitivamente esto significa que el conjunto de posibles valores de la variable abarca todo un intervalo de números reales. Por ejemplo, la variable que asigna la estatura a una persona extraída de una determinada población es una variable continua...