Par Ordenado

PAR ORDENADO
Definición. Se llama par ordenado a un conjunto formado por dos elementos y un criterio de ordenación que establece cuál es primer elemento y cuál el segundo.

Un par ordenado de componentes a, b es el conjunto {{a}, {a, b}} y se denota (a, b).

A partir de dos objetos a y b, se forma un nuevo objeto (a, b) llamado par ordenado. En general (a, b)  (b, a), a "a" se le llamaprimera componente o abscisa y a "b" se llama segunda componente u ordenada.
El conjunto de todos los pares ordenados en los cuales el primer elemento se toma de un conjunto X determinado y el segundo de un conjunto Y se llama producto cartesiano de X e Y, escrito .
3.2.2 Axioma.
(X, y) = (u, v)  x = u  y = v.

Intuitivamente, dos pares ordenados son iguales sí y sólo sí son iguales susprimeras componentes y sus segundas componentes.
Pares ordenados en la teoría de conjuntos
En la teoría de conjuntos pura, donde solamente existen conjuntos, pares ordenados (a, b) se pueden definir como el conjunto:

Esta definición tiene el nombre de par de Kuratowski, y es bien básica, porque requiere de apenas pocos axiomas para poder ser formulada (el axioma de extensión, el axioma deseparación y el axioma del par).
La afirmación de que x sea el primer elemento de un par ordenado p puede ser entonces formulada como

y que x sea el segundo elemento de p como

Nótese que esta definición también es válida para el par ordenado p = (x,x) = {{x},{x,x}} = {{x},{x}} = {{x}}.
En la formulación usual ZF de la teoría de conjuntos incluyendo el axioma de regularidad, un par ordenado(a,b) puede también ser definido como el conjunto {a,{a,b}}. De todas formas, el axioma de regularidad es necesario, dado que sin él, sería posible considerar conjuntos x y z tales que x = {z},z = {x}, y . Entonces se tendría que

Mientras que se quiere que .

Coordenadas cartesianas
El Sistema cartesiano es un sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dosejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) x e y se denominan abscisa y ordenada, respectivamente.


Historia
Se denominan coordenadas cartesianas en honor a René Descartes (1596-1650), el célebre filósofo y matemáticofrancés que quiso fundamentar su pensamiento filosófico en el método de tomar un «punto de partida» evidente sobre el que edificar todo el conocimiento.
Como creador de la geometría analítica, Descartes también comenzó tomando un «punto de partida» en esta disciplina, el sistema de referencia cartesiano, para poder representar la geometría plana, que usa sólo dos rectas perpendiculares entre sí quese cortan en un punto denominado «origen de coordenadas»,el plano cartesiano tiene 2 ejes Y y X ideando las denominadas coordenadas cartesianas.
Sistema de coordenadas lineal
Un punto cualquiera de una recta puede asociarse y representarse con un número real, positivo si está situado a la derecha de un punto O, y negativo si está a la izquierda. Dicho punto se llama origen de coordenadas O(letra O) y se asocia al valor 0 (cero).
Corresponde a la dimensión uno, que se representa con el eje X, en el cual se define un origen de coordenadas, simbolizado con la letra O (O de origen) y un vector unitario en el sentido positivo de las x:
Este sistema de coordenadas es un espacio vectorial de dimensión uno, y se le pueden aplicar todas las operaciones correspondientes a espaciosvectoriales. También se le llama recta real.

Un punto:

también puede representarse:

La distancia entre dos puntos A y B es:

Sistema de coordenadas plano
Con un sistema de referencia conformado por dos rectas perpendiculares que se cortan en el origen, cada punto del plano puede "nombrarse" mediante dos números: (x, y), que son las coordenadas del punto, llamadas abscisa y ordenada,...