PARABOLA

LA PARABOLA
Parábola es un término que proviene del latín parabŏla y que tiene su origen más remoto en un vocablo griego.

Definición:
Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que sus distancias a un punto fijo llamado foco y a una recta fija llamada directriz son iguales.

Características geométricas:
Vértice: Es el punto donde la parábola corta a su eje focal.
Foco: Es un puntoque se encuentra situado sobre el eje focal y la distancia que se encuentra del vértice al foco, es la misma que del vértice a la Directriz.
Lado recto: La cuerda, perpendicular al eje focal, que contiene al foco y corta a dos puntos de la parábola.











Ejemplos de cómo ha contribuido la parábola en la tecnología
Puentes colgantes

El cable de suspensión de un puente uniformemente cargadotoma la forma de una parábola.
Demostración.
Consideremos un puente colgante que pesa m kg por metro lineal y que está sostenido por un cable que tiene un peso despreciable comparado con el peso del puente. La sección OP del cable desde el punto más bajo (el origen) a un punto general P( x,y) se muestra en la siguiente figura.

Las fuerzas que actúan en esta sección del cable son:
H
=
tensiónhorizontal en 0
T
=
tensión tangencial en P
W
=
mx = peso de x metros de puente
Si el puente está en equilibrio, las componentes horizontal y vertical de T deben equilibrar a H y a W respectivamente, por lo tanto


H
=
Tcosq
mx
=
Tsenq
Llamamos y( x) a la función que describe la forma del puente.

La curva pasa por el origen, así que y( 0) = 0

Como T es tangente al puente, entonces
dydx
=
tanq

=
Tcosq
Tsenq
= H mx


debemos resolver entonces
dy
dx = mx
H con la condición y( 0) = 0
Integrando de ambos lados, obtenemos

y = ò mx
H dx = m
H x2 + k
como y( 0) = 0,entonces k = 0, así que la curva que describe al puente es

y = m
H x2
que efectivamente es una parábola.

Ejemplo
Los cables del tramo central de un puente colgante tienen la forma de unaparábola. Si las torres tienen una separación de 800 metros y los cables están atados a ellas 400 metros arriba del piso del puente, ¿qué longitud debe tener el puntal que está a 100 metros de la torre? Suponga que el cable toca el piso en el punto medio del puente.

Solución

La ecuación de la parábola es x2 = 4py. Debemos encontrar p. Como los puntos ( 400,400) y ( -400,400) están en la parábola,resolvemos

4002 = 4p( 400)
obteniendo p = 100. Así que la ecuación de la parábola es x2 = 400y.

Queremos encontrar ahora la segunda coordenada del punto de la parábola cuya primera coordenada es x = 300.

Resolvemos
3002 = 400y
obteniendo y = 225.

Así que la altura del puntal que está a 100 m de la torre es de 225 m.






Trayectoria parabólica de un proyectil
La trayectoria de un proyectillanzado desde el nivel del suelo describe una parábola abierta hacia abajo. Esta propiedad fue descubierta por Galileo en el siglo XVI.


Demostración
Para probar esta propiedad, haremos uso de las siguientes consideraciones físicas. El vector velocidad inicial v0 se descompone en su componente horizontal v0x y su componente vertical v0y de acuerdo a

v0x = v0cosa v0y = v0sena
donde aes el ángulo de inclinación del disparo (ver la figura anterior). Si despreciamos la resistencia del aire, la componente horizontal de la velocidad es constante a lo largo del tiempo, en cambio, la componente vertical de la velocidad se ve afectada por la fuerza de gravedad de acuerdo a la Ley de Newton:

Si un cuerpo tiene una velocidad vertical inicial y únicamente está sometido a la fuerza degravedad g, su aceleración en cada instante es -g.
Como la aceleración es la derivada de la velocidad y la velocidad inicial es voy, tenemos
v'( t) = -g v( 0) = v0y
integrando ambos lados,
v( t) = -gt + k
evaluando v en t = 0, obtenemos que la constante k es igual a v0y.
Como la velocidad es la derivada de la posición y el proyectil es lanzado desde el nivel del piso, tenemos

y'( t) =...