Parabola

“Parábola”

Introducción:
Curva abierta, una de las secciones cónicas. Es la intersección de un cono recto circular y un plano paralelo a la generatriz del cono. Es también el recorrido de un punto que se mueve de modo que su distancia a una recta fija (directriz) es siempre igual a su distancia a un punto fijo (foco). Tiene la útil propiedad de que cualquier recta paralela a su eje desimetría se refleja a través del foco, y viceversa. Rotándola en torno a su eje, da una superficie con la misma propiedad de reflexión, haciéndola ideal para los platos o discos de las antenas satelitales y otras, y de los reflectores de los focos de iluminación dirigida. Las parábolas surgen naturalmente como trayectorias de los proyectiles. La misma figura se observa también en el diseño de algunospuentes y arcos.
Historia:
La tradición reza que las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo en su estudio del problema de la duplicación del cubo, donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes.
Sin embargo, el primero en usar el término parábola fue Apolonio de Perge ensu tratado Cónicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas.
Es Apolonio quien menciona que un espejo parabólico refleja de forma paralela los rayos emitidos desde su foco, propiedad usada hoy en día en las antenas satelitales. La parábola también fue estudiada por Arquímedes, nuevamente en la búsquedade una solución para un problema famoso: la cuadratura del círculo, dando como resultado el libro Sobre la cuadratura de la parábola.
Aunque la definición original de la parábola es la relativa a la sección de un cono recto por un plano paralelo a su directriz, actualmente es más común definir la parábola como un lugar geométrico:
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos equidistantesde una recta dada, llamada directriz, y un punto fijo que se denomina foco.

Elementos de la parábola:

y = – p

Vértice
Directriz

Foco

P
P´(x,-p)

Ecuaciones de la parábola:
La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical y su vértice es (u,v) tiene la forma (y-v)=a(x-u)2, |
Agrupando los términos y reordenando se obtiene una forma equivalente:
La ecuación de una parábolacuyo eje es vertical es de la forma. |
Si la parábola es horizontal, se obtienen ecuaciones similares pero intercambiando y por x y viceversa. Así tendríamos:
La ecuación de una parábola cuyo eje es horizontal es de la forma . |

Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es (0,p). La directriz es por tanto, la recta horizontal que pasa por (0,-p). A la distancia entreel vértice y el foco se le llama distancia focal, de modo que en este caso la distancia focal es igual a p. Con esta configuración se tiene:
La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,p) es . |
De forma alterna:
La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,p) es . |
Es de notar que el coeficiente 4p es precisamente la longitud del lado recto de laparábola.
Ambas ecuaciones se refieren a parábolas verticales que se abren «hacia arriba». La ecuación de una parábola que se abre hacia abajo es similar excepto que varía un signo. En este caso, el foco sería (0,-p) y de esta forma:
La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,-p) es . |
Cuando la parábola es horizontal «hacia la derecha», se obtiene una ecuación similarintercambiando los roles de x, y:
La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (p,0) es , |
Obteniendo mediante un cambio de signo la ecuación de las parábolas hacia la izquierda.
Finalmente, las ecuaciones cuando el vértice no está en el centro se obtienen mediante una traslación. En el caso común de la parábola vertical hacia arriba se tiene
La ecuación de una parábola con vértice en...