Paradoja de russell

Paradoja de Russell

La paradoja en términos del barbero
La paradoja de Russell ha sido expresada en varios términos más cotidianos, el más conocido es la paradoja del barbero que se puede enunciar de la siguiente manera:
En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y en poner sanguijuelas. Un díael emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos sólo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sí mismas. Cierto día el emir llamó a As-Samet para que lo afeitara y él le contó sus angustias:-- En mi pueblo soy el único barbero. No puedo afeitar al barbero de mi pueblo, ¡que soy yo!, ya que si lo hago, entonces puedo afeitarme por mí mismo,por lo tanto ¡no debería afeitarme! Pero, si por el contrario no me afeito, entonces algún barbero debería afeitarme, ¡pero yo soy el único barbero de allí!El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con la mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió para siempre feliz. |
En lógica de primer orden, la paradoja del barbero se puede expresar como:(4)
Donde afeita(x,y) significa "x es afeitado por y". Lo anterior se leería como "Cada persona es afeitada por el barbero si y sólo si no se afeita a sí misma". Es importante notar la semejanza entre las ecuaciones (2) y (4). Al substituir x por barbero se obtiene
(5)
Es decir que el barbero se afeita a sí mismo si y sólo si no se afeita a sí mismo, lo cual es una contradicción.Explicación de la paradoja
Los conjuntos son reuniones de cosas, por ejemplo de coches, libros, personas, etc. y en este sentido los llamaremos conjuntos normales.
La característica principal de un conjunto normal es que no se contiene a sí mismo. Pero también existen conjuntos de conjuntos, como 2M, que es el conjunto de subconjuntos de M.
Un conjunto de conjuntos es normal salvo si podemos hacerlo quese contenga a sí mismo. Esto último no es difícil si tenemos el conjunto de todas las cosas que NO son libros y como un conjunto no es un libro, el conjunto de todas las cosas que NO son libros formará parte del conjunto de todas las cosas que NO son libros. Estos conjuntos que se contienen a sí mismos se llaman conjuntos singulares.
Está claro que un conjunto dado o bien es normal o bien essingular, no hay término medio, o se contiene a sí mismo o no se contiene. Ahora tomemos el conjunto C como el conjunto de todos los conjuntos normales. ¿Qué clase de conjunto es C? ¿Normal o Singular?
Si es normal, estará dentro del conjunto de conjuntos normales, que es C luego ya no puede ser normal. Si es singular, no puede estar dentro del conjunto de conjuntos normales, luego no puede estar enC, pero si no está en C entonces no es singular.
Cualquier alternativa nos produce una contradicción, ésta es la paradoja.
Sin embargo, también existe la frase:
Si en una peluquería vemos el cartel:" yo afeito a quienes no se afeitan a si mismos, y solamente a estos". ¿quién afeita al barbero?
Que muestra una solución más sencilla pues ninguna de las afirmaciones expuestas muestra una idea deconjunto cerrado o estrictamente exclusivo.

Paradoja de Russell
El paradoja de Russell, o antinomia de Russell, es una paradoja muy simple de teoría de los conjuntos (Él mismo Russell habla de teoría de las clases, en un sentido equivalente), que desempeñó un papel importante en la formalización de ésta. Se descubrió por Bertrand Russell hacia 1901 y publicado en 1903. Ya se le conocía enrealidad a Göttingen, dónde se había descubierto por Ernst Zermelo, en torno a 1900[1], sino este último no lo publicó.
Declaración de la paradoja
Se puede formular la paradoja así: ¿el conjunto de los conjuntos que no pertenecen a ellos mismos pertenece a sí mismo? Si se responde sí, entonces, como por definición los miembros de este conjunto no pertenecen a ellos mismos, no pertenece a sí mismo:...