Paralepipedos
Páginas: 6 (1427 palabras)
Publicado: 9 de mayo de 2011
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Volumen de un paralelepípedo
De Laplace
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Contenido[ocultar] * 1 Enunciado * 2 Primer volumen * 3 Segundo volumen * 4 Volumen del tetraedro |
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1 Enunciado
Sean los puntos de coordenadas (en el SI) O(1,0,2), A(3,2,4), B(2,6,8) y C(2, −3,1). Determine el volumen del paralelepípedo definido por los vectores , y .
Halle del mismo modo el volumen del paralelepípedo definido por los vectores , y .
Calcule igualmente el volumen del tetraedro irregular definido por estos cuatro puntos.
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2 Primer volumen
El volumen de un paralelepípedo se calcula como el producto mixto (sinsigno) de los tres vectores que definen el paralelepíedo.
En nuestro caso los vectores los obtenemos hallando las diferencias entre las coordenadas de cada par de puntos
de forma que el producto mixto lo da el determinante
Al ser positivo, este es el volumen del paralelepípedo.
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3 Segundo volumen
Para el segundoparalelepípedo calculamos los nuevos vectores de posición relativos
El nuevo producto mixto es
Puesto que el volumen debe ser positivo obtenemos
Este es el mismo resultado que antes, pese a que geométricamente estemos hablando de un paralelepípedo diferente. Puede demostrarse en general: un paralelepípedo definido por cuatro puntos a partir de tres vectores concurrentes queunen uno de los puntos con los otros tres posee el mismo volumen sea cual sea el punto de los cuatro que tomemos como origen de los vectores.
Para este caso la demostración parte de
aplicando que
nos queda, para el primer producto vectorial
ya que el producto vectorial de un vector por si mismo es nulo. Aplicando ahora que
y que el producto vectorial de por cualquier cosaes ortogonal a llegamos a
Concluimos entonces que
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4 Volumen del tetraedro
Un tetraedro es un caso particular de pirámide. El volumen de una pirámide es 1/3 del volumen del prisma que tiene la misma base y la misma altura. Si tomamos como base el triángulo definido por O, A y B, la altura es la proyección de en la dirección normal a lasuperficie
El área de un triángulo es área es 1/2 del área del paralelogramo definido por dos de sus lados.
Por tanto, el volumen del tetraedro es (1/3)×(1/2) = 1/6 del volumen del paralelepípedo definido por tres aristas concurrentes del tetraedro, esto es
Puesto que podemos elegir cualquier vértice del tetraedro para tomar las tres aristas concurrentes, y el volumen de unparalelepípedo es siempre 6 veces el del tetraedro, llegamos de forma inmediata a la afirmación anterior de que todos los paralelepípedos definidos por los mismos cuatro puntos tienen el mismo volumen.
Paralelepípedo
paralelepípedo - Wikilingue - Encydia
Un Paralelepípedo mostrando las aristas
Paralelepípedo o bloque rectangular es la designación dada a un prisma cuyas faces son paralelogramos. Unparalelepípedo tiene seis faces, siendo que dos son idénticas y paralelas entre sí. Los paralelepípedos pueden ser rectos u oblicuos, consoante sus faces laterales sean perpendiculares o no a la base.
Tabla de contenido[esconder] * 1 Definición * 2 Propiedades * 2.1 Volumen * 2.2 Casos especiales * 3 El paralelepípedo en espacios |
Definición
En geometría, un 'paralelepípedo'es una forma tridimensional cuyas 6 faces son paralelogramos. El paralelepípedo puede ser definido de tres formas distinguidas:
* ES un prisma cuya base es un paralelogramo;
* ES un hexaedro del cual cada faz es un paralelogramo;
* ES un hexaedro con tres pares de faces paralelas.
Los paralelepípedos constituyen una subclasse de los prismatóides.
Propiedades
Cada uno de los...
Volumen de un paralelepípedo
De Laplace
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Contenido[ocultar] * 1 Enunciado * 2 Primer volumen * 3 Segundo volumen * 4 Volumen del tetraedro |
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1 Enunciado
Sean los puntos de coordenadas (en el SI) O(1,0,2), A(3,2,4), B(2,6,8) y C(2, −3,1). Determine el volumen del paralelepípedo definido por los vectores , y .
Halle del mismo modo el volumen del paralelepípedo definido por los vectores , y .
Calcule igualmente el volumen del tetraedro irregular definido por estos cuatro puntos.
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2 Primer volumen
El volumen de un paralelepípedo se calcula como el producto mixto (sinsigno) de los tres vectores que definen el paralelepíedo.
En nuestro caso los vectores los obtenemos hallando las diferencias entre las coordenadas de cada par de puntos
de forma que el producto mixto lo da el determinante
Al ser positivo, este es el volumen del paralelepípedo.
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3 Segundo volumen
Para el segundoparalelepípedo calculamos los nuevos vectores de posición relativos
El nuevo producto mixto es
Puesto que el volumen debe ser positivo obtenemos
Este es el mismo resultado que antes, pese a que geométricamente estemos hablando de un paralelepípedo diferente. Puede demostrarse en general: un paralelepípedo definido por cuatro puntos a partir de tres vectores concurrentes queunen uno de los puntos con los otros tres posee el mismo volumen sea cual sea el punto de los cuatro que tomemos como origen de los vectores.
Para este caso la demostración parte de
aplicando que
nos queda, para el primer producto vectorial
ya que el producto vectorial de un vector por si mismo es nulo. Aplicando ahora que
y que el producto vectorial de por cualquier cosaes ortogonal a llegamos a
Concluimos entonces que
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4 Volumen del tetraedro
Un tetraedro es un caso particular de pirámide. El volumen de una pirámide es 1/3 del volumen del prisma que tiene la misma base y la misma altura. Si tomamos como base el triángulo definido por O, A y B, la altura es la proyección de en la dirección normal a lasuperficie
El área de un triángulo es área es 1/2 del área del paralelogramo definido por dos de sus lados.
Por tanto, el volumen del tetraedro es (1/3)×(1/2) = 1/6 del volumen del paralelepípedo definido por tres aristas concurrentes del tetraedro, esto es
Puesto que podemos elegir cualquier vértice del tetraedro para tomar las tres aristas concurrentes, y el volumen de unparalelepípedo es siempre 6 veces el del tetraedro, llegamos de forma inmediata a la afirmación anterior de que todos los paralelepípedos definidos por los mismos cuatro puntos tienen el mismo volumen.
Paralelepípedo
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Un Paralelepípedo mostrando las aristas
Paralelepípedo o bloque rectangular es la designación dada a un prisma cuyas faces son paralelogramos. Unparalelepípedo tiene seis faces, siendo que dos son idénticas y paralelas entre sí. Los paralelepípedos pueden ser rectos u oblicuos, consoante sus faces laterales sean perpendiculares o no a la base.
Tabla de contenido[esconder] * 1 Definición * 2 Propiedades * 2.1 Volumen * 2.2 Casos especiales * 3 El paralelepípedo en espacios |
Definición
En geometría, un 'paralelepípedo'es una forma tridimensional cuyas 6 faces son paralelogramos. El paralelepípedo puede ser definido de tres formas distinguidas:
* ES un prisma cuya base es un paralelogramo;
* ES un hexaedro del cual cada faz es un paralelogramo;
* ES un hexaedro con tres pares de faces paralelas.
Los paralelepípedos constituyen una subclasse de los prismatóides.
Propiedades
Cada uno de los...
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