Parcial geometria vectorial

Universidad Nacional de Colombia - Escuela de Matemáticas Primer Parcial Resuelto de Geometría Vectorial y Analítica (25%) Marzo 1 de 2010 Nombre del estudiante:___________________________________Carné:______________ Nombre del profesor:____________________________________Grupo:________ Nota: La interpretación de las preguntas del examen hace parte de la evaluación, por tal motivo no se respondenpreguntas durante la prueba. El procedimiento completo debe aparecer en su hoja de trabajo. Si utiliza calculadora redondee los resultados a dos dígitos después del punto decimal. Tiempo de duración del examen: 1 hora y 50 minutos 1. (Valor 45%) Sean !; ! y ! vectores del plano tales que k!k = 4; k!k = 6; k!k = 5; dir(!) = 45 ; v w z v w z v w z z dir(!) = 120 ; el ángulo entre ! y ! es igual a150 y 180 < dir(!) < 300 : w (a) (15) Utilizando una escala apropiada y con un mismo punto inicial O, dibuje y señale claramente los vectores !; !; ! y proy! ! . v w z v w SOLUCIÓN: dir (!) = 120 + 150 = 270 : z

(b) (10) Halle la descomposición canónica del vector 2! !. v w ! y ! es: ! = (k!k cos 45 ) !+(k!k sen45 ) ! = SOLUCIÓN: La descomposición canónica de v w v v i v j p p p ! p ! 2! 2! ! !2:83 i + 2:83 j ; j =2 2 i +2 2j 4 i +4 2 2 p p ! 3! 1 ! ! ! ! = (k!k cos 120 ) ! + (k!k sen120 ) ! = 6 3i + w w i w j j = 3 i +3 3j i +6 2 2 ! 5:20 j : Luego la descomposición canónica de 2! ! es: v w p ! p p p ! ! ! ! ! ! = 2 2p2! + 2p2! 2v w i j 3 i +3 3j = 4 2+3 i + 4 2 3 3 j 8:66 i + ! 0:46 j : 1

(c) (15) Encuentre escalares a y b tales que ! = a! + b! e ilustre grá…camente estadescomposición. z v w ! ! z v w SOLUCIÓN: ! = OP + OQ = a! + b! con a < 0 y b < 0 :

5 5; entonces b = p 0:61: Reemplazando en (1) ; se obtiene 3 3+3 p 3 (0:61) p 0:65: Por lo tanto ! z 0:65! 0:61!: v w 2 2a 3 ( 0:61) = 0; y entonces a = 2 2 (d) (5) Exprese, en términos del vector !; el vector ! con magnitud 7 y dirección opuesta a la de v x !. v (2)

4 jaj 5sen45 5 = ; con a < 0 y b < 0: Entonces jbj= 0:61 y como b < 0; se sen105 sen30 6sen105 5sen30 concluye que b 0:61: De igual forma jaj = 0:65 y como a < 0; se concluye que 4sen105 ! ! 0:61!: a 0:65: Luego z 0:65 v w ! ! ! Otro método: p Usando descomposición canónica: ! = a! + b!; con ! = 5 j = 0 i z v w z 5j; p ! p ! ! ! ! !=2 2 i +2 2j ; w = 3 i +3 3j : v p ! p ! p ! p ! ! ! ! ! ! Entonces 0 i 5 j = a 2 2 i + 2 2 j +b 3 i + 3 3 j ; esdecir, 0 i 5 j = 2 2a 3b i + p p p ! ! 2 2 + 3 3b j j ; y por la unicidad de la descomposición canónica, entonces 2 2a 3b = 0 y | {z } (1) p p 2 2a + 3 3b = 5: Debemos resolver este sistema para a y b: | {z }
(2)

! QR k!k z En el triángulo OQR, por ley de senos: = = : sen45 sen105 sen30 ! ! OQ = kb!k = jbj k!k = 6 jbj ; w w QR = ka!k = jaj k!k = 4 jaj : Así que v v

! OQ

6 jbj sen45

=p (1) : 3 3 + 3 b =

SOLUCIÓN: ! = ! con < 0, porque ! y ! tiene direcciones opuestas. k!k = 7; k!k = 4 x v x v x v ! !k = k !k = j j k!k : De aquí se obtiene que j j = k x k = 7 y dado que < 0; entonces y kx v v 4 k!k v 7 ! = 7 ! (= 1:75!) : = , con lo cual x v v 4 4 2

2. Valor (35%) Sean A =

2 1

;B=

1 5

yC=

2 . 4

(a) (8) Halle, analíticamente, el punto D del plano talque el cuadrilátero ABDC sea un paralelogramo de vértices consecutivos A; B; D y C. Dibuje el paralelogramo resultante. ! ! SOLUCIÓN: ABDC es un paralelogramo si y sólo si AB = CD: ! ! 1 2 2 Ahora, AB = CD () B A = D C () D = B A + C () D = + () 5 1 4 3 D= : 8 La grá…ca del paralelogramo obtenido es: (b) (6) Encuentre el ángulo interior del triángulo ABC en el vértice A. SOLUCIÓN: Sea = ángulointerior del triángulo ABC en el vértice A. Entonces es el ! ! ángulo entre los vectores AB y AC; que es el ángulo entre B A y C A: Se tiene que cos = (B A) (C A) 1 2 1 2 2 4 , B A = = ; C A = = : Luego kB Ak kC Ak 5 1 4 4 1 3 1 4 16 16 4 3 p p cos = p = p y como 0 < < 180 ; entonces = cos 1 39:09 2 + 42 42 + 32 5 17 5 17 1 ! ! ! (c) (6) Halle el punto P tal que AP = ProyAC AB: ! ! ! ! AB AC ! ! ! !...