Calculo Vectorial Derivadas Parciales

Derivadas parciales
• Funciones de dos variables:
Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales (x, y) de un conjunto D es el dominio de f y su rango es el conjunto de valores que forma f, es decir. { f (x, y | (x, y) € D}.
Se escribe z = f (x, y) para hacer explicito el valor que forma f en el punto (x, y). Las variables x y y son variablesindependientes y z es la variable dependiente.
Una función de dos variables es justo una función cuyo dominio es un conjunto de R2 y cuyo rango es un subconjunto de R. Una manera de representar tal función se logra mediante un diagrama de flechas.


Si una función f está definida por una formula y no se especifica dominio alguno, entonces se entiende que el dominio de f será el conjunto delos pares (x, y) para el cual la expresión dada es un número muy bien definido.

Límites y continuidad
• Definición
Sea f una función de dos variables cuyo dominio D contiene entre otros, puntos arbitrariamente cercanos a (a, b). Entonces el límite de f(x, y) cuando (x, y) tiende a (a, b) es L por lo que se escribe:
lim f(x, y) = L
si para todo número r > 0 hay un número correspondiente & >0
si f(x, y) € D y 0 < (x - a)2 + (y - b)2 < & en ese caso | f(x, y) – L | < r


Otras funciones para el límite de la función 1 son:

lim f(x, y) = L y f(x, y) L cuando(x, y) (a, b)

Observe que | f(x, y) – L |es la diferencia entre los números f(x, y) y L, y (x - a)2 + (y - b)2 es la distancia entre el punto (x, y) y el punto (a, b). Por lo tanto,la definición 1 establece que la distancia entre f(x, y) y L se puede hacer arbitrariamente pequeña haciendo la distancia desde (x, y) a (a, b) suficientemente pequeña, pero no cero.


Continuidad
• Definición:
Se dice que la función f de dos variables es continua en (a, b) si
lim f(x, y) = f(a, b)

f es continua en D si f es continua en todos los puntos (a, b) de D.

Elsignificado intuitivo de continuidad es que si el punto (x, y) cambia una pequeña cantidad, entonces el valor de f(x, y) cambia una pequeña cantidad. Esto quiere decir que una superficie que es la grafica de una función continua no tiene agujeros ni grietas.
Al aplicar las propiedades de los límites, puede ver que las sumas, diferencias, productos y cocientes de funciones continuos son continuos ensus dominios. Se usa este hecho para dar ejemplos de funciones continuas.
Una función polinomial de dos variables, es decir un polinomio, es decir una suma de términos de la forma c xn ym donde c es una constante y m y n son enteros no negativos. Una función racional es una razón de polinomios. Por ejemplo:
f(x, y) = x4 + 5x3y2 + 6xy4 – 7y + 6
es una función polinomio, mientras:
g(x, y) =_________

es una función racional, los limites en (2) demuestran que las funciones f(x, y) = x . g (x . y) = y h(x . y) = c son continuas puesto que cualquier polinomio se puede conforma con las funciones simples.

• Ejemplo:
Evalué lim (x2 y3 – x3 y2 + 3x + 2y)


SOLICION: Puesto que f(x, y) = x2 y3 - x3 y2 + 3x + 2y es un polinomio y es continuo entonces se puedeencontrar el límite mediante la sustitución directa:

lim (x2 y3 – x3 y2 + 3x + 2y) = 12 • 23 – 13 • 22 + 3 • 1 + 2 • 2 = 11




Derivadas parciales

Suponga q f es una función de dos variables x y y. Si y se mantiene constante, digamos, y = y0, entonces f(x, y0) es una función de la variable simple x su derivada en x = x0 es la derivada parcial de f respecto a x en (x0, y0) y sedenota fx(x0, y0). Asi,


De manera análoga, la derivada parcial de f respecto a y en (x0, y0) se denota fx(x0, y0) y esta dada por


En vez de calcular fy(x0, y0) y fx(x0, y0) directamente a partir de las definiciones en los recuadros, por lo general hallamos fx(x, y) y fy(x, y) usando las reglas usuales para las derivadas; luego sustituimos x = x0 y y=y0. Aquí el punto importante es...