Pau mates

ANÁLISIS
1.

(Junio 1994)

x2 −3
2x − 4
b) ¿Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo.
a) Encontrar las asíntotas de la curva f ( x ) =

2.

3.

(Junio 1994) Calcular : a )

dx

∫ x (1+ ln x ) ;
3

⎧
⎪
(Junio 1994) Dada la función f ( x ) = ⎪
⎨
⎪
⎪⎩

∫x

b)

dx
−1

2

si x < 0
si 0 ≤ x ≤1cos x
a + 2x 2
b
x

si x >1

a) Calcular los valores de a y b para que la función f ( x ) sea continua en  .
b) ¿Es derivable la función obtenida en x = 0? ¿En x = 1?. Razona la respuesta.

4.

⎧x + 2
⎪
⎪⎪− x
(Septiembre1994) Dada la siguiente función: f ( x ) = ⎨ x 2 − x
⎪
⎪ 1
⎪⎩ 2 − x

x < −1
−1≤ x < 0
0 ≤ x 1

sea continua para todo valor de x. Una vez hallado estevalor de a, hallar la ecuación de la tangente a la curva que la representa en el
punto de abscisa 2. ¿Existe derivada de esta función cuando x vale 1?
18.

1
se pide:
x
a) Asíntotas y simetrías de la curva y = f ( x ) .
(Junio 1997) Dada la función f ( x ) = − x −

b) Extremos relativos e intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c) Dibujar la gráfica.
19.

(Junio 1997) Hallar elárea limitada en el primer cuadrante por las gráficas de las funciones y = sen x, y = cos x y el eje de

ordenadas.

⎧ x 2 + 2x + 2
⎪
20. (Junio 1997) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f dada por: f ( x ) = ⎨1
⎪2 x 2 − x
⎩

si x < −1
si −1≤ x ≤1
si x >1

razonando las respuestas.
21. (Junio 1997) Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puedeinscribirse en un triángulo isósceles cuya base es el
lado desigual y mide 36 cm y la altura correspondiente mide 12 cm. Suponer que un lado del rectángulo está en la base del triángulo.
22.

(Septiembre1997) Dada la función f ( x ) = − x +

4
se pide:
x2

a) Asíntotas de la curva y = f ( x ) .
b) Extremos relativos e intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c) Dibujar la gráfica.
23.(Septiembre1997) La derivada segunda de una función f ( x ) es f "( x ) = 6⋅( x −1) . Hallar la función si su gráfica pasa por el punto

(2, 1) y en este punto es tangente a la recta 3x – y – 5 =0.
24.

2
⎪⎧ x
2
⎪⎩− x + ax + b

(Septiembre 1997) Hallar a y b para que la función f dada por f ( x ) = ⎨

si x ≤1
si x >1

sea continua y derivable para todo x real. Encontrar los puntos endonde la recta tangente a la curva y = f ( x ) es paralela al eje OX.
25.

(Septiembre1997) Un cono circular recto tiene una altura de 12 cm y radio de la base de 6 cm. Se inscribe un cono de vértice el

centro de la base del cono dado y base paralela a la del cono dado. Hallar las dimensiones (altura y radio de la base) del cono de
volumen máximo que puede inscribirse así.

⎧0
⎪
26.(Junio 1998) Dada la función f definida por: f ( x ) = ⎨ax 3 + bx
⎪11x −16
⎩

si x ≤ −1
si −1< x < 2 . Se pide:
si 2 ≤ x

i) Hallar a y b para que la función sea continua en todo x real
ii) Analizar su derivabilidad.
iii) Representación gráfica.
27.

(Junio 1998) Un campo de atletismo de 400 metros de perímetro consiste en un rectángulo con un semicírculo en cada uno de dos

ladosopuestos. Hallar las dimensiones del campo para que el área de la parte rectangular sea lo mayor posible.

– 16 –

____________________________ Análisis

28.

(Junio 1998) Un jardinero dispone de 120 metros de valla y desea delimitar un terreno rectangular y dividirlo en cinco lotes con vallas

paralelas a uno de los lados del rectángulo. ¿Qué dimensiones debe tener el terreno para que elárea sea la mayor posible?
29.

(Junio 1998) Dibujar el recinto limitado por la curva y = x ⋅ e , el eje OX y la recta paralela al eje OY que pasa por el punto donde la
x

curva tiene su mínimo relativo. Hallar el área de dicho recinto.
30.

(Septiembre1998) Comprobar que todas las funciones f ( x ) = 3x +10 x + ax + b tienen un único punto de inflexión. Hallar a y b
5

3

para que...