pedagogia infanitl

Capítulo 8
ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo de desplazamientos
Dr. Fernando Flores
8.1.

INTRODUCCIÓN

En este capítulo se sistematizan las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de vigas.
En general se recurre al denominado método de equilibrio o método de los desplazamientos, que
consiste en expresar las ecuaciones diferenciales de equilibrio en función de los desplazamientos.Inicialmente se estudia el comportamiento frente a cargas axiales, luego se estudia el problema
de flexión y finalmente el de torsión. Las ecuaciones diferenciales ordinarias resultantes, con sus
correspondientes condiciones de contorno, pueden integrarse y obtener los desplazamientos y giros
de un elemento de viga aislado. Se muestran algunos ejemplos simples de como realizar dicha
integración.8.2.
8.2.1.

VIGAS SOMETIDAS A ESFUERZOS AXIALES
Ecuación diferencial

Recordemos la hipótesis de Bernoullí: “durante la deformación de una pieza recta sometida a
esfuerzo axil las secciones transversales permanecen planas y paralelas a si misma”, lo cual conduce
a que todos los puntos de la sección sometida a un esfuerzo axial en su baricéntro mecánico
se deforman una misma magnitud εx. Esta deformación εx puede escribirse en función de los
desplazamiento axiales u como
du
(8.1)
εx =
dx
Una expresión diferencial que relaciona una medida de deformación (εx ) con componentes de desplazamiento (u) se denomina una relación (o ecuación) cinemática. La expresión de la deformación
específica εx (x) (8.1) resulta de comparar (ver Figura 8.2.1) la longitud del elementodiferencial
du
antes (ds = dx) y después que se desplace ds∗ = dx + dx
dx
∗
ds − ds
du (x)
ε (x) =
=
(8.2)
ds
dx

1

x

x+dx
u+du
*
ds

ds
u
x+u

du
x+dx+u+dx dx

Figura 8.1: Deformación de un elemento diferencial de barra
La tensión en cada punto de la sección se obtiene a partir de la ley de Hooke
σx = E εx

(8.3)

Una expresión que relaciona una medida de tensión (σx )con una medida de deformación (εx ) se
denomina una relación constitutiva (define el comportamiento mecánico del material constitutivo).
Si la sección es homogénea será la misma tensión para todos los puntos de la sección. Recordemos
que el esfuerzo axial N se define como la integral de las tensiones axiales sobre la sección:
ˆ
σx dA
(8.4)
N=
A
ˆ
=
Eεx dA
(8.5)
A

si la sección eshomogénea
N = σx A = EA εx
si la sección no es homogénea se define el valor

(8.6)

ˆ
E dA

EA =

(8.7)

A

N = EA εx

(8.8)

Consideremos una barra de sección transversal A (constante o de variación suave, ver Figura
8.2.1) sometida a una carga distribuida p (x) en la dirección del eje de la barra. Se ha supuesto
que la variación de la sección es suficientemente suave de talforma que es aceptable la hipótesis de
Bernoulli de que la deformación εx es uniforme en cada sección. El elemento diferencial de barra
(una rebanada) se define como el limitado por dos secciones separadas un diferencial dx.
El equilibrio de este elemento diferencial resulta de sumar esfuerzos internos y fuerzas externas
actuando sobre el mismo
dN (x)
+ p (x) = 0
(8.9)
dx
Reemplazando (8.6) y(8.2) en (8.9) resulta
d EA (x)

du
dx

+ p (x) = 0
dx
Si el área de la sección es constante la ecuación anterior se simplifica a:
EA

d2 u
+ p (x) = 0
dx2

Que es una ecuación diferencial:
2

(8.10)

(8.11)

ordinaria: es función de una única coordenada x,
de segundo orden: el máximo orden de derivación que aparece es 2,
lineal : no hay productos entre las variables oentre las variables y sus derivadas
a coeficientes constantes: los coeficientes que multiplican a la incógnita y sus derivadas no
dependen de la coordenada x.
Para resolver esta ecuación debe conocerse, además de la carga externa p (x), cuales son las
condiciones de contorno o borde. La cantidad de condiciones de contorno que pueden y deben
fijarse es 2 (el orden de la ecuación) y en general una...