Pendiente De Una Recta

Conceptos, leyes y aplicaciones
Definición de la pendiente de una recta
Sea I una recta que no es paralela al eje y sean P1 (X1, Y1) y P2 (X2, Y2) puntos distintos en l. La pendiente m de l es
m=y2-y1x2-x1
Si I es paralela al eje y, entonces la pendiente de I no está definida.
Los puntos típicos P1 y P2 sobre la recta I se muestran en la figura 1.

Figura 1, 2
Forma de punto pendientepara la ecuación de una recta
Una ecuación para la recta que pasa por el punto (X1, Y1)=m (X-X1).
Ejemplo: Hallar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos.
Exprese la ecuación de la recta que pasa por A (1,7) y B (-3,2).
SOLUCIÓN
La recta está trazada en la figura 8. La formula para la pendiente m nos da
m=1+7-21-(-3)==54
Podemos usar las coordenadas de A o de B para (X1, Y1) en laforma de punto pendiente. Con el uso de A(1,7)tenemos
y-7=54+(x-1) forma de punto pendiente
4(y-7)=5(x-1) multiplique por 4
4y-28=5x-5 multiplique factores
-5x+4y=23 reste 5x y sume 28
5x-4y=-23 multiplique por -1
La ultima ecuación es una de las formas deseadas para la ecuación de una recta. Otra es
5x-4y+23=0.
La forma de punto pendiente para la ecuación de una recta se puederescribir como
y=mx-mx1+y1, que es la forma y=mx+b
con b=-mx1+y1. El numero real b es la intersección con el eje de la gráfica, como se indica en la figura 9. Como la ecuación y=mx+b muestra la pendiente m y el cruce b con el eje y de l, se denomina forma ordenada en el origen para la ecuación de una recta. Recíprocamente, si comenzamos con y= mx + b, podemos escribir
y-b=m(x-0).
Comparandoesta ecuación con la forma de punto pendiente, vemos que la gráfica es una recta con pendiente m y que pasa por el punto (0, b). Hemos demostrado el siguiente resultado.
Figura 8

Forma de ordenada en el origen para la ecuación de una recta
La gráfica de y=mx + b es una recta que tiene pendiente m y cruce b con el eje y.
Ejemplo: Expresa una ecuación en forma de ordenada en el origen
Expresela ecuación 2x-5y=8 en forma de ordenada en el origen.
SOLUCIÓN
Nuestra meta es despejar y de la ecuación dada para obtener la forma y=mx + b. Podemos proceder como sigue>
2x-5y=8 enunciado
-5y= -2x + 8 reste 2x
y=-2-5x+ 8-5 divida entre -5
y=25x+-85 ecuación equivalente
La ultima ecuación es la forma de ordenada en el origen y= mx + b con pendiente m=25 y cruce con el eje y de b=-85.De la forma de punto de pendiente se deduce que toda recta es una gráfica de una ecuación.
ax + by=c,
donde a, b y c son números reales y a y b no son cero ambas. A esta ecuación se la llama ecuación lineal en x y y. Demostremos, recíprocamente, que la gráfica de ax + by=c, con a y b sin que sean cero ambas, es siempre una recta.
Si b 0, podemos despejar y y obtener
y=-abx+ cb,
que, por laforma de ordenada en el origen, es una ecuación de una recta con pendiente -ab y cb de cruce con el eje y. Si b=0 pero a 0, podemos despejar x, obteniendo x= ca, que es la ecuación de una recta vertical con intersección ca, con el eje x. Esta discusión establece el siguiente resultado.
Forma general para la ecuación de una recta
La grafica de una ecuación lineal ax + by = c es una recta y,recíprocamente, toda recta es la gráfica de una ecuación lineal.
Para mayor sencillez, usamos le terminología le recta ax + by = c más que la recta con ecuación
ax + by=c.
Ejemplo: Trazar las gráfica de una ecuación lineal
Trace la grafica de 2x-5y=8
SOLUCIÓN
Sabemos, de la exposición precedente, que la gráfica es una recta y que es suficiente hallar dos puntos en la gráfica. Encontremoslos puntos de intersección con los ejes x y y al sustituir y=0 y x=0, respectivamente, en la ecuación dada 2x-5y=8
Cruce con el eje x: si y=0, entonces 2x=8, o x=4.
Cruce con el eje y: si x=0, entonces -5=8, o y= -85.
Localizando los puntos (4, 0) y (0, -85) y tazando la recta que pase por ellos nos da la grafica de la figura 10.
El siguiente teorema especifica la relación entre recta...