Pendulo de willberforce

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PENDULO DE WILBERFORCE

RESUMEN_ En este laboratorio se repasaron y comprobaron experimentalmente las ecuaciones que explican los movimientos del péndulo de Wilberforce, el cual es un sistema en que se acoplan dos tipos de movimientos. Para llevar a cavo lo anterior se acoplo mecánicamente una barra de masa fija, la cual permitía variar gradualmente su inercia, a un resorte de masa conocida; seobtuvieron mediciones de acuerdo a los requerimientos de las ecuaciones, se varió la inercia hasta logra que el sistema entrara en resonancia.

Introducción
El péndulo de Wilberforce es un conocido dispositivo para verificar el principio de la conservación de la energía. Se puede además, mostrar las oscilaciones acopladas de los modos longitudinales y torsionales de un cuerpo de formacilíndrica que cuelga de un muelle en forma de hélice.
En esta página, vamos a resolver las ecuaciones del movimiento: de traslación y de rotación alrededor del eje vertical, a calcular las frecuencias de los modos normales de oscilación, y a determinar las condiciones iniciales que hacen que el sistema describa un modo normal de oscilación.
ABSTRACT_ In this laboratory experiment were reviewed and foundthe equations that explain the movements of the Wilberforce pendulum, which is a system that bind two types of movements. To take the above, dig a mechanical coupling bar fixed mass, which change gradually allowed its inertia, a spring of known mass, measurements were obtained according to the requirements of the equations, the inertia was varied to achieve the system enters into resonance.MARCO TEÓRICO_

Ecuaciones del movimiento
kx (constante elástica en las oscilaciones longitudinales) y kq la constante en las oscilaciones torsionales. Sea x el desplazamiento vertical del muelle de la posición de equilibrio, y q  el ángulo de rotación alrededor del eje vertical.
El acoplamiento entre los dos modos de oscilación está relacionado de la forma εxq /2, donde ε se denomina constantede acoplamiento.
La energía del sistema es la suma de la energía cinética de traslación del bloque, de rotación alrededor del eje vertical, la energía potencial del muelle cuando se deforma una longitud x, y cuando gira un ángulo θ, y la energía de acoplamiento

Las ecuaciones del movimiento de Lagrange nos llevan al sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden. La lagrangianaL=Ek-Ep, con los símbolos se escribe

Las ecuaciones del movimiento son:

En ausencia del término de acoplamiento ε=0 las ecuaciones diferenciales describen dos Movimientos Armónicos Simples de frecuencias angulares

Eliminamos x en el sistema de dos ecuaciones diferenciales

Suponiendo una solución de la forma
θ=A·sen(ωt)+ B·cos(ωt)
e insertándola en la ecuación diferencial de cuarto ordenen θ, obtenemos la ecuación bicuadrada

Las dos raíces reales de esta ecuación son las frecuencias ω1 y ω2 de los modos normales de vibración

La forma general del ángulo θ de rotación en función del tiempo t es una combinación de los dos modos normales de vibración
θ(t)=Asen(ω1t)+ Bcos(ω1t)+ Csen(ω2t)+ Dcos(ω2t)
La velocidad angular de rotación es

Para calcular la posición x(t), seintroduce θ(t) y su derivada segunda en la ecuación diferencial de segundo orden que describe la rotación del cilindro.

La velocidad del c.m. del cilindro es

Las condiciones iniciales determinan los valores de los coeficientes A, B, C, D.
Desplazamos el cilindro x0 y lo giramos un ángulo θ0 y a continuación lo soltamos. La velocidad inicial es  dx/dt=0, dθ/dt=0 en el instante t=0.
Tenemos queresolver el sistema de cuatro ecuaciones

Despejamos las incógnitas A, B, C, y D
A=C=0

Las expresiones de la posición x y θ y velocidad dx/dt y dθ/dt en función del tiempo son

θ(t)= Bcos(ω1t)+ Dsen(ω2t) |
Análisis del laboratorio
En el laboratorio se tuvo en cuenta una buena referencia geométrica del centro en el resorte, para evitar el balanceo del resorte, se ubicaron los...
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