Pendulo simple (demostracion)

Un péndulo está constituido por un hilo en cuyo extremo hay una masa puntual que en su movimiento describe un arco de circunferencia, cuyo radio es precisamente la longitud del péndulo L, y a cuyoángulo con la vertical llamaremos θ.

Sabemos que todo arco es igual al ángulo por su radio. En este caso, el ángulo es θ y el radio L.

s = θ L

Esta ecuación nos da el arco recorrido por la masapara un ángulo dado. Es nuestra ecuación de posición en el movimiento del péndulo. A partir de ahí buscamos la ecuación de la velocidad lineal, la derivada de la posición respecto al tiempo:

v =ds/dt = L dθ/dt (la longitud L del péndulo es constante)

Y de aquí, derivando otra vez respecto al tiempo, deducimos la aceleración tangencial:

a = dv/dt = L d²θ/dt²

Esa es la ecuación de laaceleración tangencial de la masa que está en el extremo del péndulo. Pero, por otra parte, sabemos que esa masa se mueve gracias a una fuerza que actúa sobre ella. Esa fuerza es su propio peso, omejor dicho, la componente del peso tangencial al arco. Esto es:

F = – m g sen θ

Es decir, tenemos dos expresiones de la misma aceleración que deben coincidir:

a = L d²θ/dt² y a = – g sen θL d²θ/dt² = – g sen θ ----------> [1]

Pero además, el valor en el tiempo del ángulo del péndulo se ajusta al de las oscilaciones armónicas y sabemos que la ecuación de posición en los M.A.S. es:θ = θo sen(ω t + φ) ---------> [2]

Derivando 2 veces respecto al tiempo:

θ'' = d²θ/dt² = – ω² θo sen(ω t + φ)

y viendo en [2] que θo sen(ω t + φ) = θ

d²θ/dt² = – ω² θ

Sustituyendo estevalor en [1]:

L (– ω² θ) = – g sen θ

Y ahora viene una aproximación que se aplica normalmente a los péndulos cuando hablamos de ángulos pequeños :

sen θ ≈ θ

L (– ω² θ) = – g sen θ = – gθ

ω² = g/L

ω = √ (g/L)

Pero el periodo T es, por definición, el tiempo que se tarda en recorrer un ciclo completo (2 π) con la velocidad angular ω. Luego:

► T = 2 π / ω = 2 π / √...