pendulo

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03) Rapidez de Cambio

0302) Rapidez de Cambio

Desarrollado por el Profesor Rodrigo
Vergara Rojas
Octubre 2007

Desarrollado por el Profesor Rodrigo Vergara Rojas
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A) Rapidez media de cambio
Considere una cantidad física F(t), como la
mostrada en la figura 1a. Se define el cambio
∆F de la función entre los instantes t y t + ∆t
como:
∆F = F (t+ ∆t ) − F (t )

F (t + ∆t )

∆F
F (t )

∆t

Se define la rapidez media de cambio de F
entre los instantes t y t + ∆t como:
F =

∆F F (t + ∆t ) − F (t )
=
∆t
∆t

(a)

F(t)

t + ∆t

t

t

(b)

F(t)

Si dim(F) = F, entonces dim( F ) = FT-1
Al respecto, podemos analizar los siguientes
casos:
•

•

•

Rapidez de cambio positiva: F(t+∆t) >
F(t) ⇒ ∆F > 0 ⇒ F >0 (ver figura
1a)
Rapidez de cambio cero o nula:
F(t+∆t) = F(t) ⇒ ∆F = 0 ⇒ F = 0
(ver figura 1b)
Rapidez de cambio negativa: F(t+∆t) <
F(t) ⇒ ∆F < 0 ⇒ F < 0 (ver figura
1c)

F (t ) = F (t + ∆t )

∆t
t + ∆t

t

F(t)
F (t )

F (t + ∆t )

t
(c)

∆F

∆t
t

t + ∆t

t

Figura 1) Concepto de rapidez de cambio. a)
positiva; b) nula; c) negativa

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F(t)

Consideremos la función F(t) mostrada en la figura
2. La rapidez media de cambio de la función entre t
= t1 y t = t2 esta dada por:

F(t2)

F (t 2 ) − F (t1 )
F=
t 2 − t1

F

F(t1)

Esta expresion corresponde a la pendiente de la
recta secante al gráfico que pasa por los puntos
indicados.

t1

t2 t

RectaSecante al gráfico en los
puntos indicados

Figura 2) Definición de rapidez media de
cambio.

Nº de habitantes

Evolución del Nº de Habitantes
50000
40000
30000
20000
10000
0
1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970

(a

Año

Rapidez media de cambio
600
400
200
0
-200
-400

1900- 1910- 1920- 1930- 1940- 1950- 19601910 1920 1930 1940 1950 1960 1970

-600
-800

(bIntervalos de años

Figura 3) (a) Variación del número de habitantes; (b)
Rapidez media de cambio del número de habitantes
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B) Concepto de “Área Bajo la Curva”
Considere la siguiente tabla, correspondiente al número de habitantes de un pueblo rural en
diferentes años.

Año
1900
1910
1920
1930
1940
1950
19601970

Nhab [hab]
30000
34000
39000
43000
43000
41000
38000
31000

Intervalo

∆Año

∆Nhab

∆Nhab/∆Año
∆

1900-1910
1910-1920
1920-1930
1930-1940
1940-1950
1950-1960
1960-1970

10
10
10
10
10
10
10

4000
5000
4000
0
-2000
-3000
-7000

400
500
400
0
-200
-300
-700

A partir de estos gráficos se pueden obtener los gráficos de la variación de lacantidad física “número
de habitantes” en función del tiempo (figura 3a) y la rapidez media de cambio del número de
habitantes en función del tiempo (figura 3b)
Concentrémonos en el gráfico de la figura 3b. Calculando el área bajo la curva entre 1900 y 1930.
 hab 
 hab 
 hab 
A1 = 400 
 ⋅ 10[año ] + 500  año  ⋅ 10[año ] + 400  año  ⋅ 10 [año ] = 13000 [hab ]
 año 



De la tabla, se puede observar el cambio del número de habitantes entre 1900 y 1930 corresponde a
un aumento en 13000 [hab]
Calculando el área bajo la curva entre 1940 y 1970.
 hab 
 hab 
 hab 
A2 = -200 
 ⋅ 10 [año ] - 300  año  ⋅ 10 [año ] − 700  año  ⋅ 10 [año ] = −12000 [hab ]
 año 




De la tabla, se puede observar el cambio del número de
habitantes entre 1940y 1970 corresponde a una
disminución en 12000 [hab]
Así se puede observar que existe una relación entre el área
bajo la curva del gráfico de rapidez media de cambio entre
dos instantes con la variación de la cantidad física en tales
instantes.
Tomando como referencia la figura 4, vemos que el área
bajo la curva achurada está dada por:

α 
F 
s 

A

F

t1

t2

t [s ]...