Peogramcion en tiempo real grupos

3.1Grupos
Teorema1
Si un conjunto no vacio y o una operación binaria en G, entonces (G,o)es un grupo si se cumple las siguientes condiciones .


Observemos q la primera condición de la definición anterior, puede saltarse si sólo pedimos q la
operación binaria G sea de tipo cerrada. Si (G,o)es un grupo, y r,
entonces.
ejemplo:






Definicion
Para cualquier grupo G,el #de elementos de G es el orden de G que se denota con ІGІ. Cuando el #de elementos de un grupo no es finito, decimos que G tiene orden infinito.
Ejempló: Para cualquier mientras que para cualquier primo p.



Teorema 2






Teorema3



Teorema4

Ejemplo:

3.1.1Homomorfismo
Un homomorfismo, desde un objeto matemático es una función que es compatible con todala estructura relevante. Por ejemplo, si un objeto consiste en un conjunto X con un orden < y el otro objeto consiste en un conjunto Y con orden {, entonces debe valer para la función que, si
u < v f( u ) { f( v ).
O, si en estos conjuntos hay definidas operaciones binarias + y *, respectivamente, entonces debe valer que: f(u + v) = f(u) * f(v). Ejemplos de morfismo son los homomorfismosde grupos, los homomorfismos de anillo, los operadores lineales, las funciones continuas, etc.
Definición
Dado dos conjuntos no vacíos A y A', y las leyes de composición interna

La función es un homomorfismo respecto de + y * si y sólo si la imagen de la composición en A es igual a la composición de las imágenes en A'. Es decir:
es homomorfismo respecto de + y *
Cualquier homomorfismo f: X--> Y define una relación de equivalencia ~ en X como a ~ b si y solo si f(a) = f(b). En el caso general, este ~ se llama núcleo de f. Al conjunto cociente X/~ se le puede entonces dar una estructura de una manera natural, v.g., [x] * [y] = [x] * [y]. En ese caso la imagen de X en Y bajo el homomorfismo f es necesariamente isomorfa a X/~; este hecho es uno de los teoremas de isomorfía. Nóteseque en algunos casos (v.g. grupos o anillos), una sola clase de equivalencia K es suficiente para especificar la estructura del cociente, así que escribimos X/K.
También en estos casos, es K, más bien que ~, el que es llamado el núcleo de f.
Variantes y subclases de homomorfismo
* Un homomorfismo que es también una biyección, tal que su inversa es también un homomorfismo, se llamaisomorfismo; dos objetos isomorfos son totalmente indistinguibles por lo que a la estructura en cuestión se refiere.
Formalmente,

Para ser más claro se dice que una función es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, que es la regla de la función inyectiva.

* Un homomorfismo de un conjunto a sí mismo sellama endomorfismo, y si es también un isomorfismo se llama automorfismo.
Un automorfismo es un isomorfismo de un objeto matemático en sí mismo. Usualmente el conjunto de automorfismos de un objeto puede recibir una estructura de grupo con la operación de composición, tal grupo recibe el nombre de grupo de automorfismos y es, a grandes rasgos, el grupo de simetría del objeto.
* Un homomorfismoque es suprayectivo, epiyectivo o exhaustivo se llama epimorfismo.
En matemática, una función es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva o exhaustiva), si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando la imagen , o en palabras más sencillas, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".
Formalmente,
Los siguientes diagramas función sobreyectiva:| |

* Un homomorfismo que es inyectivo se llama monomorfismo.
De manera más precisa, una función es inyectiva cuando se cumple alguna de las dos afirmaciones equivalentes:
* Si x1,x2 son elementos de tales que f(x1) = f(x2), necesariamente se cumple x1 = x2.
* Si x1,x2 son elementos diferentes de , necesariamente se cumple
Los siguientes diagramas corresponden a función...