Permutaciones

PERMUTACIONES página 1
1 La palabra "permutar" significa, en el idioma Español, cambiar el orden o disposición de alguna cosa. También
significa "cambiar una cosa por otra", siempre y cuando una de esas cosas no sea dinero.
TEMA 1
PERMUTACIONES
DEFINICIÓN: Dados n elementos, el número de maneras en que se pueden ordenar dichos elementos
se llaman permutaciones.1
Por ejemplo, sea elconjunto {a, b, c, d} de cuatro elementos. Las posibles formas en que se pueden
ordenar esos cuatro elementos son:
abcd bacd cabd dabc
abdc badc cadb dacb
acbd bcad cbad dbac
acdb bcda cbda dbca
adab bdac cdab dcab
adba bdca cdba dcba
es decir, en total hay 24 formas diferentes de ordenarlos. Se dice entonces que existen 24 permutaciones
posibles.
En el estudio matemático de las permutaciones,lo que interesa saber es cuántas son, no cuáles son.
A pesar de eso, en el ejemplo anterior, se enlistaron cuáles son para clarificar la idea de lo que significa
permutaciones.
FACTORIAL: El producto de un número entero positivo n por todos los que le anteceden, se llama
factorial del número n. Su símbolo es n!
Por ejemplo, el factorial de 5, escrito 5!, es el producto de 5 por todos losnúmeros enteros
positivos que le anteceden, o sea
5! = 5 × 4 × 3 × 2 ×1 = 120
página 2 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA I
1.- A cada lugar que va a ser ocupado por un elemento se le asigna una equis o una
cruz.
2.- Se analiza cuántos elementos pueden ocupar cada uno de los lugares, comenzando
por aquellos sitios que están condicionados por el enunciado.
3.- Se coloca abajo de la cruz o de la equiscorrespondiente el número de maneras
que puede ser ocupado cada lugar.
4.- Se coloca alguna letra arriba de la cruz correspondiente para especificar el (los)
elemento(s) exclusivo(s) que deberá(n) ocupar ese sitio, conforme a las condiciones
del enunciado.
5.- El producto de todos los números situados abajo de las cruces es el número total
de permutaciones buscado.
6.- En caso de que lasituación se repita k veces, se encierra en un paréntesis todo
lo anterior y afuera se coloca el número k para indicar la multiplicación respectiva.
PERMUTACIONES SIN REPETICIONES
Existen dos tipos de permutaciones: Sin repeticiones y con repeticiones. Se refiere al hecho de que
en el conjunto de objetos que se van a permutar haya o no cosas repetidas. Aquí se comenzará con el
caso más sencilloque es cuando todos los objetos son diferentes, o sea sin repeticiones.
CUANTIFICACIÓN
Para obtener cuántas son las permutaciones de n elementos, se deben realizar los siguientes pasos:
Ejemplo 1: ¿De cuántas maneras se pueden ordenar los elementos {a,b,c,d} ?
Solución: Primero obsérvese que todos los elementos son diferentes, por lo tanto se trata de un caso de permutaciones
sin repeticiones.Como son 4 elementos, hay cuatro lugares que van a ser ocupados por
cada uno de ellos. Se ponen cuatro cruces o equis, de la siguiente manera:
× × × ×
El primer sitio de la izquierda puede ser ocupado por cualquiera de los cuatro elementos; una vez
ocupado ese primer sitio por cualquiera de los cuatro elementos, el siguiente lugar ya solamente
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podrá ser ocupado por unode los tres elementos restantes; una vez ocupado ese segundo sitio por
cualquiera de los tres elementos que quedaban, el siguiente lugar ya solamente podrá ser ocupado
por uno de los dos elementos restantes; finalmente, una vez ocupado ese tercer sitio por cualquiera
de los dos elementos que quedaban, el último lugar podrá ser ocupado por el elemento restante:
El producto de esos cuatronúmeros es el número de permutaciones posibles con esos cuatro elementos,
o sea
4 × 3 × 2 × 1 = 24
Ejemplo 2: ¿De cuántas maneras pueden sentarse en una fila de cinco sillas, Alberto, Benito, Carlos, Dora y
Elena,
a) en total;
b) si Alberto no puede ir en ninguno de los dos extremos de la fila;
c) si Benito debe ir al principio de la fila;
d) si Dora y Elena deben ir juntas?
Solución: Sean...