Poligonos

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Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC) Matemáticas 2 – MA 111

POLÍGONOS

A1 A2 A8 α2 α1 α3 α8 α4 α7 α6 α5 A4 A6 A5

A7

A3

Un agricultor contrata a una compañía constructora para que realice el cálculo del área de un terreno que se encuentra en una explanada y que desea adquirir. La forma del terreno es arbitraria y se muestra en la figura. El ingeniero encargado se sitúa enel punto O de su interior y selecciona 8 puntos A1, A2, .....A8, que descansan sobre el lindero del terreno. El dibujo se encuentra a escala 1: 100. A continuación mide con su teodolito los ángulos α1, α 2, ..., α 8, así como los segmentos OAi. Una aproximación del área del terreno es el área de la región poligonal encerrada por el polígono A1A2A3A4A5A6A7A8; y esta se puede calcular sumando lasáreas de los triángulos formados.

1.

Definición Sean: A1, A2, .....An, n distintos puntos del plano. Trazamos los segmentos: A1A 2 , A 2 A 3 , A 3 A 4 ,…, A n −1A n , A n A1 . La unión de estos segmentos recibe el nombre de polígono si se cumplen las siguientes dos propiedades: a. b. No es posible que descansen, sobre una misma recta, dos segmentos con un punto en común. Dos segmentoscualesquiera sólo pueden intersecarse en sus extremos.

Clasificación de los Polígonos Según su número de lados se clasifican en: Número de lados 4 Pentágono 6 Heptágono 8 Nonágono 10 Endecágono 12 Pentadecágono 17 Icoságono Nombre Triángulo

POLÍGONOS

1

Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC) Matemáticas 2 – MA 111

2.

Elementos

A3
β2 α3 α2

β3 α4

A2

A4
β4

β1

α1α5 β5

A1

A5

El Pentágono- Base Militar de USA

Lados:

A 1A 2 , A 2 A 3 , A 3 A 4 , A 4 A 5 , A 5 A 1 Son los segmentos que conforman el polígono. A1, A2, …, A5 Son las intersecciones de dos lados consecutivos.
α1, α2, …, α5 Son los ángulos formados por dos lados consecutivos.

Vértices:

Ángulos interiores:

Ángulos Exteriores: β1, β2, …, β5 Son los ángulos formados en unvértice por un lado y la prolongación del lado consecutivo. El ángulo interior y el ángulo exterior correspondiente, son suplementarios. Diagonales:

Son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos.

Ejercicio:

Para los siguientes polígonos indique los lados, el número de lados y los vértices. A H G F E B C D S
n (número de lados)

P T Q M R
Vértices

K L O

N

PolígonoLados

ABCDEFGH

8

A, B,…

AB, BC, …

POLÍGONOS

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3.

Polígonos convexos y no convexos

Un polígono es convexo si el segmento que une dos puntos interiores cualesquiera del polígono está contenido en el interior del polígono. En caso contrario el polígono se denomina no convexo.
Ejemplo: ¿Cuál de lossiguientes polígonos es convexo y cuál es no convexo?

A

B

Nota: en este curso vamos a tratar solo con polígonos convexos.

4.

Discusión sobre las características más importantes de todos los polígonos convexos

Notas
1 3 lados





d

D

180°

360°

0

0

1 4 lados

2

4 1 2

3

¿En cuántos triángulos puedo dividir el cuadrilátero?

180°( ) =

1( )( )

5 1 6 lados 2

¿En cuántos triángulos puedo 3 dividir el pentágono?
4

5 lados

180°( ) =

2( ) ( )

¿En cuántos triángulos puedo 180°( ) = 3 dividir el hexágono?

3( ) ( )

6 5 1 4 2 3 4

“n” lados

n n-1

¿En cuántos triángulos puedo dividir el n-ágono?

180°( ) =

( )( ) ( )

POLÍGONOS

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Ejercicios 01

1) ¿En cuántos triángulos dividen al polígono las diagonales trazadas desde un vértice? a) Si el polígono tiene 6 lados b) Si el polígono tiene

n lados 2

2) Encuentre la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono de 12 lados, usando el razonamiento inductivo mostrado anteriormente. 3) Si la suma de las medidas de los ángulos interiores de un...
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