Ponderacion

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CAPÍTULO 1 Álgebra

1.5
Expresiones racionales
Aprenderá acerca de...

¿Cómo se pueden describir los costos de reducir la contaminación ambiental? Es
frecuente utilizar expresiones algebraicas que implican cocientes de polinomios.
Por ejemplo, la expresión algebraica

s

Especificar los números que
deben excluirse del dominio
de una expresión racional.

s

Simplificarexpresiones racionales.

250 x
100 − x

s

Multiplicar expresiones racionales.

s

Dividir expresiones racionales.

s

Sumar y restar expresiones
racionales.

describe el costo, en millones de dólares, de retirar x porcentaje de los contaminantes que se vierten a un río. Retirar un porcentaje modesto, digamos 40%, es mucho
menos costoso que hacerlo con un porcentaje sustancialmentemayor, como 95%.
Esto se comprueba al evaluar la expresión algebraica para x 40 y x 95.

s

Simplificar expresiones racionales complejas.

s

Simplificar expresiones fraccionarias que ocurren en el
cálculo.

s

Racionalizar numeradores.

DESCUBRIMIENTO

¿Qué pasa si trata de sustituir el valor
de 100 para x en la expresión
250 x
100 − x

¿Qué le dice esto sobre el costo delimpiar todos los contaminantes de un río?
Especificar los números que deben
excluirse del dominio de una expresión
racional.

Evaluación de
x 40:
250( 40 )
≈ 167.
El costo es
100 − 40

250 x
para
100 − x
x 95:
250(95 )
= 4750.
El costo es
100 − 95

El costo se incrementa de aproximadamente $167 millones a una cantidad tal vez
prohibitiva de $4,750 millones. La espiral delcosto sube a medida que se incrementa el porcentaje de contaminantes que se retiran.
Muchas expresiones algebraicas que describen los costos de proyectos ambientales son ejemplos de expresiones racionales. Primero definiremos las expresiones
racionales, y después estudiaremos la manera de efectuar operaciones con dichas
expresiones.

Expresiones racionales
Una expresión racional es el cocientede dos polinomios. Algunos ejemplos son
los siguientes
x−2
x
4
x2 + 1
,
,2
.
y2
x − 2 x −1
4
x + 2x − 3
El conjunto de números reales para los que está definida una expresión algebraica
es el dominio de ésta. Puesto que las expresiones racionales incluyen divisiones y
la división entre cero no está definida, debemos excluir de las expresiones racionales aquellos números del dominioque hagan que el denominador se convierta en
cero.

EJEMPLO 1 Excluir números del dominio
Encuentre todos los números que deban excluirse del dominio de cada expresión
racional:
a)

4
x−2

b)

x
.
x2 − 1

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SECCIÓN 1.5

Expresiones racionales

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SOLUCIÓN Para determinar los números que deban excluirse de cada dominio
hay queestudiar los denominadores.
a)

4
x−2

b)

Este denominador se hace
igual a cero si x 2.

x
x
=
x − 1 ( x + 1)( x − 1)
2

Este factor sería igual
a cero si x
1.

Este factor se convertiría
en cero si x 1.

Para la expresión racional del inciso a) debemos excluir 2 del dominio. Para la expresión racional del inciso b) se debe excluir 1 y 1 del dominio. Con frecuencia
losnúmeros que se excluyen se escriben a la derecha de una expresión racional.
4
,x ≠ 2
x−2
Simplificar expresiones racionales.

x
, x ≠ −1, x ≠ 1
x2 − 1

Simplificación de expresiones racionales
Una expresión racional está simplificada si su numerador y denominador no tienen
factores comunes distintos de 1 o 1. Se puede usar el siguiente procedimiento
para simplificar expresiones racionales:Simplificación de expresiones racionales
1. Factorice completamente el numerador y denominador.
2. Divida tanto el numerador como el denominador entre cualesquiera factores
comunes.

EJEMPLO 2

Simplificación de expresiones racionales

x + x2
x +1
3

Simplifique: a.

b.

x2 + 6x + 5
.
x 2 − 25

SOLUCIÓN
x3 + x2
x 2 ( x + 1)
a)
x +1
x +1

Factorice el numerador....