Porfavorsefeliz

Valores y vectores característicos.
Supongamos que tenemos la siguiente matriz:

Y deseamos encontrar un vector tal que:

Donde

.

Al reescribir el sistema representado obtenemos:

Estees un sistema homogéneo con una infinidad de soluciones.

Si extendemos un poco nuestra pregunta podríamos desear encontrar el escalar λ y el vector distinto de cero que cumple:

Que se transformaen

Es decir:

Es decir buscamos valor de λ donde el sistema homogéneo que se describa tenga solución no trivial. Y tal solución no trivial existe para:

Esta expresión es la ecuacióncaracterística de la matriz y sus raíces se denominan valores característicos de la misma. Otros nombres son valores propios o eigen-valores.

En nuestro ejemplo los valores solución son Esto significa quepara esos valores es posible encontrar una solución no trivial para:

que es:

Así que tenemos dos sistemas donde es posible encontrar solución no trivial:

y El primero ya habíamos determinadoque tiene una infinidad de soluciones. Para el segundo:

Nuevamente tiene una infinidad de soluciones de la forma (x, x)

Así generalizando para el caso 2x2. Si tenemos la matriz A:

Paracalcular valores característicos procedemos como en el ejemplo.

Donde esta última expresión es la ecuación característica de la matriz A y sus raíces son los valores característicos.

Para el cálculode los vectores característicos.

Buscamos soluciones no triviales de:

Que es:

Valores y vectores característicos.

Recordemos como realizamos la asociación entre puntos en el plano y losextremos finales de un vector:

Recordamos además que por medio del producto punto definimos la ortogonalidad de los vectores:

Ahora vemos como es la representación del mismo punto endiferentes sistemas de coordenadas, con H el punto del plano.

Dos sistemas de coordenadas oblicuos y de escala arbitraria. Pongamos por ejemplo que H esta en la posición (2, 1) del sistema

Notemos...