postulado de hibert

El sistema axiomático de Hilbert se compone de nueve nociones primitivas: Tres términos primitivos:

punto, línea recta, plano,

y seis relaciones primitivas:

Orden, una relación ternaria entre puntos;
Pertenencia, tres relaciones binarias, una de ellas entre puntos y rectas, otra entre puntos y planos, y otra entre rectas y planos;
Congruencia, dos relaciones binarias,una entre segmentos y otra entre ángulos, denotadas por \cong.

Nótese que los segmentos y los ángulos (así como también los triángulos) no son nociones primitivas, sino que se definen en términos de puntos y rectas utilizando las relaciones de orden y pertenencia. Todos los puntos, rectas y planos en los subsecuentes axiomas son distintos salvo que se indique lo contrario.
I. CombinaciónDos puntos distintos A y B determinan una única recta a. Denotamos AB=a ó BA=a. En lugar de "determinan", puede decirse: "A está en a", "A es un punto de a", "a pasa por A y B", "a une A con B",etc. Si A está en a y al mismo tiempo en otra recta b, se dice también "Las rectas a y b tienen el punto A en común", etc.
Dos puntos cualquiera de una recta la determinan por completo; es decir, siAB=a y AC=a, donde en general \scriptstyle B\neq C, entonces BC=a a su vez.
Tres puntos A, B y C no situados en una misma recta determinan un plano \alpha. Se denota ABC=\alpha, y se dice "A, B y C yacen en \alpha", etc.
Tres puntos cualesquiera A, B y C del plano \alpha no situados en una misma recta determinan por completo a \alpha.
Si dos puntos A, B de la recta a yacen en elplano \alpha, entonces todo punto de a yace en \alpha. En tal caso se dice "la recta a yace en el plano \alpha", etc.
Si dos planos \alpha, \beta tienen un punto A en común, entonces tienen al menos otro punto B en común.
En cada recta hay al menos dos puntos; en cada plano hay al menos tres puntos no situados en la misma recta; y existen al menos cuatro puntos no situados en un mismoplano.

II. Orden

Si un punto B está entre los puntos A y C, también está entonces entre C y A, y existe una recta que contiene a los tres.
Si A y C son dos puntos de una recta, existe al menos otro punto B entre A y C, y al menos un punto D de tal manera que C está entre A y D.
Dados tres puntos en una recta, sólo uno de ellos está entre los otros dos.

Dada una pareja de puntosA y B, puede hablarse entonces del segmento AB. Los puntos del segmento AB son todos aquellos que están entre A y B. Estos dos son los extremos del segmento.

Axioma de Pasch: Sean A, B y C tres puntos no situados en la misma recta y sea a una recta contenida en el plano ABC, que no pasa por ninguno de los tres puntos mencionados. Entonces, si a pasa por algún punto del segmento AB, entoncespasa también por algún punto o bien del segmento BC o bien del segmento AC.

Puede probarse entonces que dadas una recta a y un punto A en ella, puede dividirse la recta en dos semirayos, disjuntos entre sí, que emanan de A, tales que su unión constituye toda la recta a excepción de A. De igual modo, dados un plano \alpha y una recta a en el, pueden distinguirse en él dos partes disjuntas, loslados de \alpha respecto a a, donde de nuevo su unión constituye todo el plano a excepción de a.
III. Paralelas

En un plano \alpha puede encontrarse una única recta b que pase por un punto dado A, el cual no pertenece a una recta dada a, de forma que a y b no tengan ningún punto en común. Está recta se llama la paralela a a que pasa por A.

IV. Congruencia

Se define un ángulo como unapareja de semirayos \scriptstyle\angle(h,k) yaciendo en un plano \alpha que emanan del mismo punto O. Se demuestra que puede dividirse entonces el plano en dos regiones: el interior y el exterior de \scriptstyle\angle(h,k), donde h y k son los lados del ángulo y O su vértice. El segmento entre dos puntos cualesquiera del interior está contenido por completo en dicha región. Esto no se cumple...