Potencias de matrices cuadradas

POTENCIAS DE MATRICES CUADRADAS
Resolver 25-52100

Solución:
El método de inducción no es aplicable en este caso, porque la matriz propuesta no es periódica, ni idempotente, ni nilpotente, niinvolutiva. Procederemos a aplicar la diagonalización de matrices, sabiendo que:
An=P∙Dn∙P-1
Donde P se conoce como matriz de paso y D es la matriz diagonal obtenida a partir de A.

La matrizdiagonal es aquella del mismo orden que A, con valores en la diagonal principal que son las soluciones de la ecuación característica de la matriz original. La ecuación característica se obtienedetA-λI=25-52-λ1001=2-λ5-52-λ=(2-λ)2+25=λ2-4λ+29
λ=4±16-41(29)2 que tiene raíces complejas
λ1=2+5i, λ2=2-5i

Con estos resultados, hemos encontrado que:

D=2+5i002-5i

Para determinar la matriz P,se utilizan los vectores propios de A, que se obtienen como la solución del sistema de ecuaciones homogéneo que se genera al sustituir las raíces encontradas de la ecuación característica en A-λI:Para λ1=2+5i
2-2-5i5-52-2-5i00~-5i5-5-5i00R1↔R2∼-5-5i-5i500
R1(-15)∼1i-5i500R2+R1(5i)∼1i0000

Como ya es la forma ESCALONADA, el sistema se puede reescribir:
x1+ix2=0
La variable x2 es libre, ypuede tomar cualquier valor. Si x2=1, x1=-i

Con estos resultados hemos obtenido el primer vector característico de A, que resultó V1=-i1
Procediendo de la misma forma para λ2=2-5i, obtenemos:2-2+5i5-52-2+5i00~5i5-55i00R1↔R2∼-55i5i500
R1(-15)∼1-i5i500R2+R1(-5i)∼1-i0000

Como ya es la forma ESCALONADA, el sistema se puede reescribir:
x1-ix2=0
La variable x2 es libre, y puede tomarcualquier valor. Si x2=1, x1=i

Con estos resultados hemos obtenido el primer vector característico de A, que resultó V2=i1

Entonces, la matriz de paso P=-ii11, y su inversa (obtenida con MATLAB) esP-1=12i12-12i12

Aplicando ahora el teorema mencionado An=P∙Dn∙P-1, tenemos que:

A100=P∙D100∙P-1

25-52100=-ii112+5i002-5i10012i12-12i12
=-ii11(2+5i)10000(2-5i)10012i12-12i12

Comprobando...