Potencias De Todo Tipo

III
Situación problemática:

POTENCIACIÓN PROPIEDADES Y TÉCNICAS DE OPERATORIA

Al término de esta lección usted podrá:



Resolver problemas básicos de potencia con enteros y racionales.

CONTENIDO Consideremos la siguiente situación problemática:

Se desea colocar cerámica a un piso de forma cuadrada de 5 m x 5 m.. Se decide comprar cerámicas cuadradas de 33 cm x 35 cm. Si lacaja trae 5 unidades de tales cerámicas ¿Cuántas cajas se deben comprar? Solución a situación problemática: Como el pìso y cerámicas están medidos en distintas unidades del sistema métrico decimal, entonces reduzcamos todas las medidas a la unidad cm. Piso : el lado del cuadrado mide 500 cm, entonjces su área está determi9nada por 500 cm . 500 cm, multiplicación de factores iguales, lo que seescribe: 500 cm . 500 cm = ( 500 . 500 ) . ( cm . cm ) = 500 2 . cm 2 = 250.000 cm 2 Para saber el número dee cerámicas que se necesitan para cubrir estos 250.000 cm 2 , se debe calcular el área de una cerámica de lado 35 cm, es decir: 35 cm . 35 cm = 1.225 cm 2 Sea “n” el número de cerámicas que se necesitan, entonces se debe cumplir: 250.000 = 1.225  n donde n =

250.000 cm 2  204 , 08 1.225 cm 2Por lo tanto, el número de cajas que se deben comprar, llamémoslo “m”, se obtiene de:

m 5



204,08

Número de cajas por caja

Cantidad de cerámicas necesarias Luego: m =

Número de cerámicas

204 , 08  40 , 8 5

Por lo tanto, se deberá comprar 41 cajas. En la resolución de este problema, se usó la notación, 500  500  500 , que llamaremos la potencia 2 de 500.
2POTENCIAS DE EXPONENTE NATURAL

La expresión Es decir: xn

xn

se llama potencia enésima de x, y es igual al producto de n factores x.

= x . x . x . x . ……………….x

n veces

x: n: x n:

se llama base de la potencia se llama exponente se llama n – ésima potencia de x

xn

Exponente

base Ejemplos: a) 2  2  2  2  2  16
4

b)

c)

32

  3   3   9

  2 3  2   2   2    8

OBSERVACIONES: 1.2.3.Para todo n Para todo

 IN : 0 n  0

n  IN : 1 n  1
base (–x ) exponente 2

 x 2

  x   x   x 2

 x 2   ( x  x ) base
alcanza al signo En general ,  ( Más aún,

 

x , exponente 2. El exponente no

xn )  xn
 x n sólo cuando n es impar

 x n 

Ejemplos: a) – 5 2 = – (5 . 5 ) = – 25, encambio (–5) 2 = (–5)(–5) = 25

b) – 2 3 = –2 . 2. 2 = –8; por otro lado, (–2) = (–2)(–2)(–2) = –8
y, por último, – (–2) 4.(–1 ) 2 n = 1, con n (–1 ) 5.2n  1

3

3

= – (–2)(–2)(–2) = 8

 IN

= -1 , con n  IN
2

Toda potencia de exponente par es mayor o igual que cero: a para cualquier número real a

 0

6.101 102 103 104 10n

Las potencias de 10 se usan para anotarabreviadamente números grandes como lo muestran los siguientes ejemplos: = 10 = 100 = 1000 = 10.000 = 10 n factores

= 10000000…..0 n ceros

Ejemplos: a) La distancia aproximada de la tierra al sol es de ciento cincuenta millones de kilómetros. La notación abreviada por potencias de 10 sería de 155∙ b) La distancia aproximada de la tierra a la luna es 384000 kilómetros y la escribimos 384∙ Obien, en decimales 3,84

POTENCIAS DE EXPONENTE CERO Y EXPONENTE ENTERO NEGATIVO
POTENCIA DE EXPONENTE CERO:

Definición

Para

todo

número

real

x

distinto

de .

cero,

la

potencia

Ejemplos:

a)

b)

POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO:

Definición: 1.Se define la potencia de base x ( número real distinto de cero) y exponente -1 como el inverso o recíprocode x. Es decir:

;

con x ≠ 0

2.- Generalizando, se define la potencia de base real x distinta de cero y exponente entero negativo “ –n” como el recíproco de la n-ésima potencia x o, de otro modo, como la n-ésima potencia del recíproco de x. Es decir

; con x

Ejemplos: a)

b)

=

c) Observación: Si n Ejemplos: a) Si n = 5 ,

d)

b) Si n = -5 ,

=

=

POTENCIAS DE 10...