potencias y raices



2.1 POTENCIAS

.- Concepto: una potencia es una forma abreviada de escribir una serie de multiplicaciones que tienen el mismo factor.

bn = b · b · ... · b (n veces)

65 = 6 · 6 · 6 · 6 · 6



Se expresa a través de dos números: la base (el factor) y el exponente ( nº de veces que se repite dicho factor).
exponente

n
base b


Potencias deexponente negativo: la expresión a-n, siendo a nº real distinto de 0 (a0, a R) y n un nº natural (n N), equivale al inverso de la base elevada a la misma potencia con exponente positivo.
a-n = ()n = 1/an
potencia de base y exponente entero negativo, es igual a:
()-n = ()n


El exponente de una potencia afecta sólo al símbolo que tiene inmediatamente a su izquierda, salvo que hayaparéntesis. -24 = - (2·2·2·2)= -16 / (-2)4=(-2)·(-2)·(-2)·(-2)=16


.- Propiedades: aplicables para simplificar operaciones con potencias sin tener que realizar ningún cálculo.


Potencia de un producto: cuando tenemos un producto elevado a un exponente se puede sustituir por el producto de dos potencias que tienen como base los factores del producto y como exponente el mismo que estaba fueradel paréntesis.

( a · b )n = an · bn (3 · 4)5 = 35 · 45


Potencia de un cociente: cuando aparece un cociente elevado a un exponente se puede sustituir por el cociente de dos potencias que tienen como base el dividendo y el divisor del cociente y como exponente el mismo.

( a : b )n = an : bn (7 : 2)3 = 73 : 23



Producto de potencias de la misma base: se obtiene unapotencia con la misma base y como exponente la suma de los exponentes de las potencias anteriores.


an · am = an + m 32 · 34 = 32+4 = 36 / 32 · 3-4 = 32 + (-4) = 3-2

Comprobación: 32 · 34 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 36






Cociente de potencias de la misma base: se puede sustituir por una potencia de la misma base y con exponente la resta de los exponentes de las potencias delcociente.



an : am = an - m 44 : 42 = 44 - 2 = 42 / 52 : 5-4 = 52-(-4) = 56

Comprobación: 44 : 42 = (4 · 4 · 4 · 4) : (4 · 4) = (4 : 4) · (4 : 4) · 4 · 4 = 1 · 1 · 4 · 4 = 4 · 4 = 42





Potencia de una potencia: se obtienen otra potencia con la misma base y exponente el producto de los exponentes.


(an)m = an · m (72)3 = 72 · 3 = 76 / (43)-3 = 43·(-3) = 4-9Comprobación: ( 72 )3 = 72 · 72 · 72 = 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 = 76


.- Casos especiales:

a0 = 1 a1 = a

20 = 1 21 = 2



Demostración.: 1 = an:an = an-n =a0

.- Cuadrados perfectos: son aquellos números que se obtienen al elevar al cuadrado los números enteros.
12 = (-1)2 = 1 22 =(-2)2 = 4 32 = (-3)2 =9 42 = (-4)2 = 16...
1, 2, 9, 16, ... son cuadrados perfectos.Conocimientos prácticos:
12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25 62 = 36 72 = 49 82 = 64 92 = 81 102 = 100 112 = 121
122 = 144 132 = 169 142 = 196 152 = 225 162 = 256 172 = 289 182 = 324 192 = 361
202 = 400

13 = 1 23 = 8 33 = 27 43 = 64 53 = 125 63 = 216 73 = 343 83 = 512 93 = 729 103 = 1000

21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32 26 = 64 27 = 128 28 = 256 29 = 512 210 = 102431 = 3 32 = 9 33 = 27 34 = 81 35 =243 36 = 729




2.2 RADICALES.

.- Concepto: (es la operación inversa de la potencia). La raíz cuadrada de un número racional son los nº racionales tales que al elevarlos al cuadrado nos dan el primero.

índice

raíz

b (b)2 = a = 3 32 = 9

Radical radicando

.- Será exacta cuando el número del que queremos calcular su raíz sea uncuadro perfecto.
.- La raíz entera de un número es el mayor número cuyo cuadrado más se aproxime sin pasarse a dicho número. La diferencia entre el número y el cuadrado de su raíz entera es el resto de la raíz

Raíz enésima o raíz de orden n de un nº racionales un nº real tal que al elevarlos al índice de la raíz nos da el primero.

= b bn =a

Se llama RADICAL a la raíz indicada de...