Potencias y raices

Unidad IX: Potencias y raíces
Elevación a una potencia y raíces de los números enteros y fraccionarios. Propiedades. Planteo y Resolución de Problemas
La Potenciación o elevación a potencias en números enteros

Es la forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales, en que el exponente significa el número de veces que se repite como factor la base.

-Nomenclatura ynotación
El número que se multiplica por sí mismo se llama base de la potencia; a la derecha y arriba de la base se escribe un número pequeño llamado exponente, que indica las veces que la base se repite como factor; y la potencia de un número es el resultado de tomarlo como factor dos o más veces.
Potencia | bn = b · b · b · b · b ........ b n veces |
| Ejemplo: |Potencias especiales y regla de los signos | Aplicación |
Todo número entero con exponente cero y base distinta a cero equivale a uno. | a0 = 1 50 = 1 400 = 1 |
Si el exponente es uno, la potencia será igual a la base. | a1 = a 51 = 5 501 = 50 |
Toda potencia de exponente par da como resultado un número positivo. | a2= a .a = a2 52 = 25 -34 = 81 |
Toda potencia de exponente impar tiene el mismo signo que la base. | -a3 = (-a).(-a).(-a) = -a3 55 = 3125 -33 = -27 |
En las potencias con base 10, el resultado será la unidad desplazada tantas posiciones hacia la izquierda (con exponente positivo) o hacia la derecha (con exponente negativo). ||

Propiedades o leyes de la potenciación en números enteros

1) Propiedad de uniformidad: cualquier potencia de un número tiene valor único o siempre igual, es decir, 22= 4 siempre y 53 = 125 siempre. Esto implica que si ambos miembros de una igualdad entre números enteros se elevan a un mismo exponente natural, se obtiene otra igualdad.
Así: Si a = b ⇒ a n = b nSi a = 3 ⇒ a3 = 33 o sea a3 = 27.

2) Ley de monotonía: si ambos miembros de una desigualdad se elevan a una misma potencia que no sea cero, resulta una desigualdad del mismo sentido que la dada. Ejemplo:
Siendo 7 > 5 resulta que: 72 > 52 o sea 49 > 25.

3) Propiedad distributiva: la potenciación esdistributiva con respecto a la multiplicación y a la división exacta.


3.1) Con respecto al producto: para elevar un producto a una potencia se eleva cada uno de los factores a dicha potencia y se multiplican estas potencias.
Así (abc)n = an. bn.cn Ejemplo: (5 . 6)2 = 52 . 62 =900
3.2) Con respecto alcociente: para elevar un cociente exacto o una fracción a una potencia cualquiera se elevan su numerador (o dividendo) y su denominador (o divisor) a dicha potencia.

Así Ejemplo: (15 ÷ 3)2 = 152 ÷ 32 = 25

-La potenciación no es distributiva para la suma ni para la resta.
Ejemplo: (3+2)2=52 (3+2)2=32+22(3+2)2=25 (3+2)2=13
25≠13
Potencias de exponente entero negativo
La potencia de un número entero distinto de cero y con exponente entero negativo es igual al inverso del número elevado a su exponente opuesto.

Ejemplo:

an = Ejemplo: 23 = = =8; 23 == =8

-Para las fracciones se aplica la misma regla.
Ejemplo:

Potencias de exponentefraccionario

Una potencia de exponente fraccionario es equivalente a una raíz de índice del denominador de la fracción, y con radicando de la base de la potencia elevada al numerador de la fracción.

Ejemplo:


Operaciones con potencias

* Producto de potencias de igual base: se obtiene escribiendo la misma base y sumando los...