Potencias y raíces de números reales

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1

Potencias y raíces de números
reales.
Potencias de exponente natural.

Definición.
El producto a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a tiene sus siete factores iguales. Este producto se puede
indicar de forma abreviada como a 7 .
a 7 se llama potencia, y al factor a, base.
El número de veces que se repite el factor se llama exponente.

La potencia x2 se llama cuadrado, y la potencia x3, cubo. Lassiguientes se llaman cuarta,
quinta, sexta ….y, en general, enésima potencia.
La potencia an, (n > 1), es el producto de n factores iguales a la base:
a n = a ⋅ a ⋅ a ⋅ L ⋅ a (n veces)

Las propiedades.
El producto de dos potencias de la misma base es otra potencia que tiene por
base la misma y por exponente la suma de los exponentes.
a m ⋅ a n = a m+ n
El cociente de dos potencias de la misma base esotra potencia que tiene por
base la misma y por exponente la diferencia de los exponentes.
a m : a n = a m− n

El producto de dos potencias con el mismo exponente es otra potencia que
tiene por base el producto de las bases y por exponente el mismo.
a m ⋅ b m = ( a ⋅ b) m

El cociente de dos potencias con el mismo exponente es otra potencia que
tiene por base el cociente de las bases y por exponenteel mismo.
a m : b m = ( a : b) m

La potencia de una potencia es otra potencia que tiene por base la misma y
por exponente el producto de los exponentes.

(a )

m n

2

= a mn

Potencias de exponente entero.
Las potencias de exponente entero se definen así:
a n = a ⋅ a ⋅ a ⋅ L ⋅ a (n > 1)
a1 = a

a0 = 1

a −m =

1
am

( m > 0)

Con esta definición, las propiedades de estas potencias son lasmismas que las de las
potencias de exponente natural.

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Potencias de 10. Notación científica.
Un número en notación científica N = a,bcd…. 10n consta de:
Una parte entera formada por una sola cifra no nula.
Una parte decimal.
Una potencia de base 10 con exponente entero.

En esta notación el exponente indica el orden de la magnitud.
Ejemplos:
La velocidad de la luz 300.000.000 m/s = 3 ⋅ 100.000.000 =3 ⋅ 10 9 m
La masa de la Tierra 5,98 ⋅ 10 Kg
24

Un año luz 9,46 ⋅ 1015 m
La masa de un protón 1,69 ⋅ 10 −28 Kg

s

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Raíz de un número.

¿Qué número positivo multiplicado por sí mismo tres veces da 49?
El número es 3 49 y se llama raíz cúbica de 49
n

a = b ⇔ b n = a, n es un número natial.

En n a ; n se llama índice;

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, radical , y a radicando

Número de raíces. Radicales equivalentes.Número de raíces.
Si el índice es par hay tres posibilidades:
Radicando positivo: existen dos raíces opuestas. 36 = ±6
Radicando igual a 0: tiene por raíz 0.
Radicando negativo: no tiene raíces, ya que todo número elevado a una
potencia de exponente par es positivo.
Si el índice es impar, todo número tiene una sola raíz: positiva, si el radicando es
positivo; negativa, si el radicando es negativo, ynula si el radicando es 0.

Ejemplo:

3

27 = 3;

3

0 = 0;

3

− 27 = −3

Radicales iguales o equivalentes. Comparación.
Los radicales 7 = 2 71 = 4 7 2 = 6 7 3 = L = 2,645K Estos radicales se dice que
son iguales o equivalentes.
Dos radicales son iguales o equivalentes si tienen las mismas raíces.
Si se multiplica o se divide el índice de un radical y el exponente del radicando por un
mismonúmero natural distinto de cero, se obtiene otro radical equivalente.

n

a m = nk a mk

Esta regla permite: simplificar radicales, obtener dos radicales con el mismo índice y
comparar radicales.
De los radicales 3 10 2 y 4 10 3 se puede pasar a 12 10 8 y
índice y exponente por 4 en el primer radical y por 3 en el segundo.

12

10 9 multiplicando

De dos radicales con el mismo índice es mayor el quetiene mayor radicando.

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Potencias de exponente fraccionario.

Observemos lo que ocurre al aplicar la definición de raíz y la propiedad del producto de
potencias de la misma base:
Aplicando la propiedad del
producto de potencias de la
misma base

Aplicando la definición de raíz

1
2

a⋅ a =a
3

1
2

a ⋅a = a
1
3

a ⋅3 a ⋅3 a = a

1
3

1
3

1 1
+
2 2

a ⋅a ⋅a = a

Si los resultados son...