Practica

PRÁCTICA No 01 DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES II

1. Sea f(x1,x2), la densidad conjunta de las variables aleatorias X1, X2 definida por:

fx1, x2=6e-(2x1+3x2); x1≥0 x2≥00 ; en otro caso

¿Son X1 y X2 independientes?

2. Sea la cuantía conjunta de las variables aleatorias X1, X2, definida en el siguiente cuadro:

X1 | X2 || 0 | 1 | 2 |
-1 | 1/8 | 1/4 | 1/8 |
0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1/8 | 1/4 | 1/8 |

¿X1 y X2 son independientes?

3. El experimento aleatorio consiste en extraer un artículo de un “stock” de 60 artículos de 3 colores diferentes: blanco, negro y rojo; 20 artículos de cada color enumerados del 1 al 20. Sea X1 la variable aleatoria que toma los valores según que el artículo sea blanco, negro yrojo respectivamente. Sea X2 la variable aleatoria que toma los valores 1, 2, 3,…., 20.
a. Construir la cuantía conjunta de las variables aleatorias X1 y X2.
b. Construir las cuantías marginales.
c. Calcular la probabilidad de extraer un artículo color rojo con el número 10.
d. Calcular P(A|B) y P(A) donde:
A = {x1 є Rx1 / 1 < x1 < 3} y B = {x2 є Rx2 / x2 ≥19}
e. ¿Son independientes las variables aleatorias X1 y X2? Justifique su respuesta.

4. Sea f(X) una función en dos variables X1, X2 cuya regla de correspondencia está dada por:

fx1, x2,x3, x4=16 x1x2x3x4 ; 0< x1<1 para i=1, 2, 3, 40 ; en otro caso

a. Determinar las marginales f(xi), i = 1, 2, 3, 4,f(x1,x2) y f(x3, x4)
b. Determinar f(x1, x2|x3, x4), ¿son independientes los vectores (X1, X2) y (X3, X4)?
c. ¿Son independientes X1 X2 X3 y X4?
d. Determine el vector de medias, la matriz de covarianzas y la matriz de correlaciones.

5. Las variables aleatorias X e Y tienen una distribución conjunta descrita por la siguiente función:
Fx,y=1-11+x-11+y+11+x+y; x, y≥00; en otro caso
a. Encuentre las distribuciones marginales F1 y F2.
b. ¿Son independientes las variables aleatorias X e Y?
c. Obtenga la densidad conjunta f(x, y).
d. Determine las densidades marginales para X e Y respectivamente.

6. Un jugador lanza un dado. Si el número que sale es par gana según la regla (11/2) – (3X/4) y puede volver a jugar; y sisale impar pierde según la regla (-1/4) – (3X/4) y se tiene que retirar.
X: cualquier número del dado, es el valor de la variable aleatoria X; x: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Y: número de jugadas ganadas, es el valor de la v. a. Y. y: 0, 1, 2, 3,………
a. Construya la cuantía conjunta de las variables aleatorias X, Y y las marginales.
b. Calcule la esperanza de ganar dinero (del jugador).
c. Encuentreel vector de medias.
d. ¿Cuál es la probabilidad de ganar más de dos juegos?

7. El vector aleatorio (X1, X2) tiene una densidad definida por
f(x1,x2) = 0.5, para todo (x1,x2) dentro del cuadrado con vértices (k,0),(-k,0),(0,k),(0,-k).
f(x1,x2) = 0, para todo (x1,x2) fuera del cuadrado.
a. Encuentre el valor de k y redefina la densidad conjunta de las variables aleatorias X1,X2, indicando explícitamente los dominios.
b. Calcule P[(-1/2 < X1 < k/2) │ (0 < X2 < k/2) ]

8. Sea la función de densidad conjunta definida por:
fx1, x2= x1x2 96 ; 0< x1<k2 0 ; en otro caso
a. ¿X1 y X2 son variables aleatorias independientes?
b. Sea A = {(x1, x2) ϵ R2 │x1 + x2 < 3}, calcule P(A).

9. Sea f(x1 , x2) la cuantía conjunta delas variables aleatorias X1, X2:
a. Si Z = G1(X1, X2) y W = G2(X1, X2), demuestre que E[Z ± W] = E[Z] ± E[W]
b. Demuestre que V[X1] = E[X12] – [ E[X1] ]2
c. Demuestre que V[X1 ± X2] = V[X1] + V[X2] ± 2 Cov[X1, X2]
d. Si X1 y X2 son independientes demuestre que:
i. V[X1 ± X2] = V[X1] + V[X2]
ii. E[X1 X2] = E[X1] E[X2]
10. Supongamos que X1 y X2 son dos...