precalculo

El álgebra se desarrolló a partir de las reglas y operaciones de la aritmética. El estudio de la aritmética comienza con la suma, multiplicación, resta y división de números, tales como

, , y

En álgebra, se introducen símbolos o letras como a, b, c, d, x, y, z, etc., para denotar números arbitrarios y frecuentemente se consideran expresiones generales,en lugar de casos especiales, como

, , y

Este lenguaje del algebra es útil por dos razones. Primero, puede ser utilizado para abreviar y simplificar expresiones largas o complicadas y
segundo, es una manera adecuada de generalizar muchas expresiones específicas. Para ilustrar esto, se ha aprendido que



y así sucesivamente. Esta descripción puede ser reducida ycomprendida fácilmente por medio de la expresión algebraica



donde a y b denotan números arbitrarios.



1.2 Números reales

Los números reales se utilizan en todas las fases de las matemáticas y es importante familiarizarse con los símbolos que los representan, por ejemplo:

, 78, - 9, , , 0 .025

El conjunto de los números reales sedice que es cerrado respecto a las operaciones de suma y multiplicación. Esto significa que a cada par de números reales a, b le corresponde un número real llamado la suma de a y b y un único número real llamado producto de a y b. Estas expresiones tienen las siguientes propiedades en donde todas las letras minúsculas denotan números reales arbitrarios y donde 0 y 1 son números realesespeciales.

Propiedades conmutativas:

Propiedades asociativas:

Elemento neutro:

Inversos:
1. Para cada número real a, existe un número real denotado por tal que

2. Para cada número real existe un número real denotado por tal que

Propiedades distributivas:


Definición de


Observación:
1) Si entonces 2) Si entonces

Observación:
1)Si entonces ó 2) para todo número real

Ejemplo 1. Verifique los siguientes casos de las propiedades asociativas y distributivas

a) b)

c) d)

Propiedades de los negativos:


Definición de la resta:

Definición de la división: Si entonces la división (denotada por ) se define como


Propiedades de los cocientes:

1. si y solo si 2.3. 4.

5. 6.

Ejemplo 2. Encuentre a) , b) , c)

a) b)

c)

Los elementos positivos 1, 2, 3, 4,…, pueden obtenerse sumando el número real 1 a si mismo respectivamente. Los negativos –1, –2, –3, –4,…, de los enteros positivos son llamados enteros negativos. La totalidad de los enteros positivos y negativos, junto con el número real 0, constituyen elconjunto de los enteros.

Un número racional es un número real que se puede escribir de la forma , donde a y b son enteros y . A los números reales que no son racionales se les llama irracionales.

En resumen, los números reales (R) se clasifican en racionales (Q) e irracionales (I). Los números racionales comprenden los enteros positivos, negativos, el cero y las fracciones positivas ynegativas que terminan o son periódicas. Los números reales que no son racionales se llaman irracionales.

Un número racional puede expresarse siempre en la forma , donde a y b son enteros y . Ejemplos de números racionales son:
, , , , , , etc.

Un número irracional no puede expresarse en la forma . Ejemplos de números irracionales son:

, , , , etc.

Lasuma, la diferencia o el producto de dos números reales es también un número real. El cociente de dos números reales es también un número real excepto cuando el divisor es igual a cero. Nótese que y .


1.3 Rectas coordenadas

El conjunto de los números reales puede ponerse en correspondencia uno a uno con los puntos de una recta numérica “L”. El punto designado para representar al cero se...