Precalculo

LEYES DE COMPOSICION INTERNAS
U OPERACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO A
Una ley de composición interna (l.c.i) es una ley que asocia a cada (todo),
par de elementos de A otro elemento de A.Ejemplos: La suma en N y la suma en Z. La suma de vectores. El producto
en N y en Z. La resta en Z.
Ejercicio: La resta en N y el produto escalar de vectores no son leyes de
composici´on intrena ¿porqu´e?
En el ejemplo anterior y el apartado 1 del ejercicio se pone de manifiesto que
una ley no es, ni deja de ser l.c.i. Depende del conjunto en que se establezca
pues la resta es l.c.i en Z pero nolo es en N.
En un conjunto con m´as de un elemento se pueden definir ”muchas” l.c.i.,
por ejemplo en Z lo son la suma, la resta y el producto; para cada una de
ellas utilizaremos un signo distinto.3 + 7 = 10 3 − 7 = −4 3.7 = 21.
Si al conjunto A se el ha dotado de una l.c.i que se denota por lo representaremos
mediante (A, ). Notar que (Z, +) 6= (Z, .) y (Z, +) 6= (N, +).
PROPIEDADES DELAS LEYES DE COMPOSICION INTERNAS
Una l.c.i () en un conjunto A es:
CONMUTATIVA: Si 8 x, y 2 A se verivica x y = y x.
Por lo tanto no es conmutativa si existe una pareja de elementos de A tal
quex y 6= y x.
ASOCIATIVA: Si 8 x, y, z 2 A x (y z) = (x y) z
No es asociativa si 9x, y, z 2 A tales que x (y z) 6= (x y) z.
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Diremos que (A, ) tiene ELEMENTO NEUTRO si
9 e 2 A tal que ea = a e = a, 8 a 2 A.
Proposici´on: Si (A, ) tiene elemento neutro este es ´unico.
Demostraci´on: Supongamos que tuviese dos elementos neutros e y e0.
Por ser e elemento neutro e e0 = e0 e = e0” ” e0 ” ” e0 e = e e0 = e
)
) e = e0
Ejemplos: (Z, +) tiene como elemento neutro el 0 y (Z, .) tiene como elemento
neutro el 1.
Si (A, ) no tiene elemento neutro no podemos hablar desim´etricos. Pero
si tiene elemento neutro, e, puede haber ciertos elementos a 2 A para los
cuales existe otro elemento a0 tal que
a a0 = a0 a = e,
diremos entonces que a0 es el sim´etrico de a, y...