Precálculo

1 Unidad I. Precálculo
1.1 Expresiones algebraicas
Una expresión algebraica es una expresión matemática abstracta como
5xy4z2 +
1
2
x2y 10
Cada expresión algebraica está constituida por elementos (denominados tér-
minos) que se asocian por operaciones de suma o resta. Las partes constituyentes
de cada término son: coe…ciente y parte literal ; la parte literal a su vez se con-
stituyede variables y exponentes.
Example 1 La expresión
1
2
x3yz2 + 4xy
1
2 z3 + 9
contiene 3 términos: 1
2x3yz2, 4xy
1
2 z3, 9; el término 1
2x3yz2 tiene coe…ciente
1
2 y parte literal x3yz2m; la parte literal contiene las variables x, y, z con
exponentes respectivos 3, 1 y 2.
Example 2 Identi…que las partes de la siguiente expresión algebraica
Expresión Término Coef. P. literal Var.Exp.
1
2x3yz2 + 4xy
1
2 z3 + 9wt4
1.2 Leyes de los exponentes y de los radicales
Sean x; y; m; n números reales.
1. xmxn = xm+n
2. (xm)n = xmn
3. (xy)n = xnyn
4. ( x
y )n = xn
yn ; y 6= 0
5. xm
xn = xmn; x 6= 0
6. xn = 1
xn ; x 6= 0
7. x0 = 1; x 6= 0
8. npxm = x
m
n
Example 3 Aplicando las leyes de los exponentes y radicales simpli…que las
siguientes expresiones:
1
Autor CruzSilva O. H.
1. x3x6 = x9
2. (2x2)3 = 8x6
3. (3x3y2z
1
2 )2 = 9x6y4z
4. (2y3
3z4t )4 = 16
81y12z16t4
5. 2x4y6
4xy4 = 1
2x3y2
6. x4
x4 = x44 = x0
7. 3
q
x3y2t 1
4 = xy2
3 t
1
12
Example 4 Simpli…que la expresión y elimine cualquier exponente negativo.
1. t7t2 = t5
2. (4x2)(6x7) = 24x9
3. (12x2y4)( 1
2x5y) = 6x7y5
4. (6y)3 = 216y3
5. x9(2x)4
x3 = 16x10
6. a3b4
a5b5 = a2b
7. b4( 1
3 b2)(12b8) = 4
b2
8. (2s3t1)( 1
4 s6)(16t4) = 8s3t3
9. (rs)3(2s)2(4r)4 = 64r7s
10. (2u2v3)3(3u3v)2 = 8
9v7
11. (6y3)4
2y5 = 648y7
12. (2x3)2(3x4)
(x3)4 = 12
x2
13. (x2y3)4(xy4)3
x2y = x3
y
14. ( c4d3
cd2 )( d2
c3 )3 = 1
c6 d7
15. (xy2z3)4
(x3y2z)3 = 1
x5 y2z9
16. ( xy2z3
x2y3z4 )3 = x3 y15
z3
17. ( q1rs2
q8r5s )1 = 1
q7r6 s3
2
Autor Cruz Silva O. H.
18.(3ab2c)( 2a2b
c3 )2 = 3
4a3 c7
Tarea 1 Simpli…que la expresión y exprésela en términos de exponentes posi-
tivos. Suponga que todas las letras indican números positivos.
1. x
2
3 x
1
5 =
2. (2a
3
4 )(5a
3
2 ) =
3. (4b)
1
2 (8b
2
5 ) =
4. (8x6)2
3 =
5. (c2d3)1
3 =
6. (4x6y8)
3
2 =
7. (y
3
4 )
2
3 =
8. (a
2
5 )3
4 =
9. (2x4y4
5 )3(8y2)
2
3 =
10. (x5y3z10)3
5=
11. ( x6y
y4 )
5
2 =
12. (2x
1
3
y
12
z
16
)4 =
13. ( 3a2
4b1
3
)1 =
14. (y10z5)
15
(y2z3)
1
3
=
15. (9st)
32
(27s3t4)
2
3
=
16. ( a2b3
x1y2 )3( x2b1
a
3
2 y
1
3
) =
Simplique la expresión. Suponga que las letras indican números reales.
1. p4 x4 =
2. 3
p
x3y6 =
3. 3
p
x3y =
4.
p
x4y4 =
5. p5 a6b7 =
6. p3 a2b p3 a4b =
7. 3
p p64x6 =
8. 4
px4y2z2 =
3
Autor Cruz Silva O. H.
1.3 Operaciones entre expresiones algebraicas
1.3.1 Adición
La adición de dos más expresiones algebraicas se limita a la simpli…cación de
términos semejantes, es decir, aquellos terminos que tienen la misma parte literal
Example 5 Sumar las siguientes expresiones
(4x5 2x4 + 6x3 x2 + 10x 12) + (x5 + 2x4 3x3 + 7x2 2x + 5)
= 8x + 6x2 + 3x3 3x5 7
1.3.2Sustracción
La sustracción se de…ne entre dos expresiones algebraicas denominadas minu-
endo y sustraendo
Example 6 Realizar la siguiente sustracción
(3x4 4x3 + 10x2
1
3
x + 7) (x4 + 3x3 14x2
2
5
x 13)
=
1
15
x + 24x2 7x3 + 4x4 + 20
1.3.3 Multiplicación
La multiplicación se de…ne entre dos expresiones algebraicas denominadas fac-
tores. Se procede de forma que cada términode un factor sea multiplicado por
todos y cada uno de los términos del otro factor.
Example 7 Multiplicar lo siguiente
(2x4 4x3 6x2 4x + 3)(4x 2)
= 20x 4x2 16x3 12x4 8x5 6
1.3.4 División
La división se de…ne entre dos expresiones algebraicas denominadas dividendo
y divisor.
Example 8 Realizar las siguientes divisiones
(x2 20 + x)  (x + 5) = x 4
(x5 + 12x2 5x)  (x2 2x +...