Presentacion

´
Ingenier´a Matematica
ı
FACULTAD DE CIENCIAS
´
F´SICAS Y MATEMATICAS
I
UNIVERSIDAD DE CHILE
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Calculo Diferencial e Integral 11-1

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SEMANA 1: CONTINUIDAD

1.

Continuidad

1.1.

Subsucesiones

Æ Æ

Definici´n 1.1 (Subsucesi´n). Sea (sn )una sucesi´n. Sea f : →
o
o
o
una funci´n estrictamente creciente. Se llama subsucesi´n de sn generada por f , a la
o
o
sucesi´n (un ), definida por:
o
un = sf (n) .
Ejemplo 1.1.
Si f (n) = 2n, entonces un = s2n . (un ) = (s0 , s2 , s4 , s6 , s8 . . . ).
Si f (n) = 2n + 1, entonces un = s2n+1 . (un ) = (s1 , s3 , s5 , s7 , . . . ).
En general, (un ) = (sf (n) ) = (sf (0) , sf (1) , sf(2) , . . . ).

Observaci´n: Aceptaremos que la funci´n f no este definida para un n´ mero
o
o
u
finito de t´rminos como por ejemplo f (n) = n − 5.
e
(sn−5 ) = (∄, ∄, ∄, ∄, ∄, s0 , s1 , . . . ).

El siguiente teorema caracteriza la convergencia de una sucesi´n v´ la de sus subo ıa
sucesiones, mostrando que adem´s ´stas no pueden tener un l´
a e
ımite distinto al de la
original.Teorema 1.1. Sea (sn ) una sucesi´n y sea ℓ ∈
o

Ê. Entonces

sn → ℓ ⇔ Todas las subsucesiones de (sn ) convergen a ℓ.
´
Demostracion. ⇐) Basta tomar f (n) = n, con lo que sf (n) = sn → ℓ.
⇒) Sabemos que

Æ Æ

∀ε > 0, ∃n0 ∈

Æ,

∀n ≥ n0 , |sn − ℓ| ≤ ε.

Sea f : → , estrictamente creciente y eventualmente no definida en un n´ mero
u
finito de casos.
P.d.q. ∀ε > 0, ∃k0 ∈ , ∀k ≥ k0 ,|sf (k) − ℓ| ≤ ε. Efectivamente, como f no es
acotada superiormente (¿por qu´?), ∃k0 ∈ , f (k0 ) ≥ n0 . Y luego:
e

Æ

Æ

∀k ≥ k0 , f (k) ≥ f (k0 ) ≥ n0 ,
de donde ∀k ≥ k0 |sf (k) − ℓ| ≤ ε.

1

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a a
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e
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subsucesi´n
o

Bolzano-Weierstrass

Teorema 1.2 (Bolzano-Weierstrass). Todasucesi´n acotada tiene al menos
o
una subsucesi´n convergente.
o

´
Demostracion. La demostraci´n se realiza mediante un m´todo de dicotom´a.
o
e
ı
Sea (sn ) una sucesi´n acotada. Existen entonces a0 , b0 ∈ tales que
o

Ê

∀n ∈

Æ,

a0 ≤ sn ≤ b 0 .

Llamemos I0 = [a0 , b0 ].
Sea a continuaci´n c0 = a0 +b0 . Es claro que en alguno de los intervalos [a0 , c0 ] y
o
2
[c0 , b0 ],hay una infinidad de t´rminos de la sucesi´n (sn ). Llamemos I1 = [a1 , b1 ] a
e
o
dicho intervalo.
e
Definimos entonces c1 = a1 +b1 . Nuevamente, debe haber una infinidad de t´rminos
2
de (sn ) en alguno de los intervalos [a1 , c1 ] y [c1 , b1 ]. Llamamos a dicho intervalo
I2 = [a2 , b2 ] y proseguimos de la misma manera.
As´ se formar´ una colecci´n de intervalos I1 , I2 , I3 , . . . , In, . . . con las siguientes
ı,
a
o
propiedades:

Æ

∀n ∈ , el intervalo In = [an , bn ] contiene una cantidad infinita de t´rminos
e
de la sucesi´n (sn ).
o

Æ, bn − an = b 2−a .
∈ Æ, In ⊇ In+1 . Cuando esta condici´n se satisface, se habla de una
o

∀n ∈

0

n

0

∀n
colecci´n de intervalos encajonados.
o

Definamos entonces la siguiente subsucesi´n de (sn ) (denotada(sf (n) )):
o
f (1) = m´
ın{k ∈

Æ | sk ∈ I1}

f (2) = m´
ın{k > f (1) | sk ∈ I2 }
f (3) = m´
ın{k > f (2) | sk ∈ I3 }

f (n + 1) = m´
ın{k > f (n) | sk ∈ In+1 }.
Con esto la subsucesi´n (sf (n) ) tiene la siguiente propiedad:
o
∀n ∈

Æ,

sf (n) ∈ In , o sea, an ≤ sf (n) ≤ bn .

(1.1)

Finalmente, es claro que las sucesiones (an ) y (bn ) son mon´tonas (an ≤ an+1 ,
o
bn+1 ≤bn ) y acotadas (an , bn ∈ [a0 , b0 ]), luego convergen a los reales a y b, respectivamente. Adem´s como an ≤ bn , entonces a ≤ b.
a
−a
Por ultimo, ya que bn − an = b02n 0 , entonces tomando l´
´
ımite se tiene que b − a = 0
o sea, a = b.
Luego, aplicando sandwich en la desigualdad de (1.1), se obtiene que sf (n) → a = b.

1.2.

Funciones continuas

Sabemos, del semestre anterior,...