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ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Se ha trabajado con números complejos, polinomio y matrices y hemos efectuado con ellos
ciertas operaciones: sin embargo no todas las operaciones se comportan de la misma
manera, por ejemplo la conmutatividad de polinomios no se presenta en matrices.
Es posible que dos conjuntos formados por elementos de diferente naturaleza y provistos de
operaciones distintastengan, sin embargo el mismo comportamiento algebraico.
Es decir que las operaciones obedezcan a las mismas leyes. Se dice en el caso que ambos
sistemas poseen la misma estructura algebraica
Tipos de Estructuras
Las estructuras algebraicas las podemos clasificar:
Grupo
Anillo
Campo
Operación Binaria y sus Propiedades
Cuando hablamos de una operación binaria nos tenemos que referir antesmatemáticos
dónde podemos realizar las operaciones comunes.
El hablar de operaciones como debemos recordar que se aplican a elementos de la misma
especie termino binario además de que el resultado no depende de los elementos de partida
sino también debe importar el orden. (matrices)
Definición

* definida en un subconjunto de S es una operación es una función
en S. la imagen del par ordenado (A,B) bajo la operación * se representa de la siguiente
Una operación binaria

manera:

S
S1

s

S

s6

2

S3

f

(a, b)

a*b

.

S

5

.

4

Ejemplo de Operaciones Binarias
Suma y multiplicación del conjunto de los números naturales.
La unión e intersección de conjuntos
La adición y multiplicación de matices cuadrados
La división entre números complejos con eldenominador diferente de cero
NOTA: El concepto de operación binaria no se debe de limitar a las operaciones usuales.
Tenemos que tomar en cuenta que pueden admitirse nuevas operaciones binarias.

G {, ,

}



=



α

β

γ

α

α

β

γ



=

β

d

β

α





γ

α

β

γ





=



Definición
Sea

*una operación binariadefinida en el conjunto S, y sea t un subconjunto de S. Se dice

que t es cerrado respecto a la operación asterisco y cumple lo siguiente:

a, b  t
Se cumple que a
operación

*b pertenece a t es decir un subconjunto t es cerrado respecto a la

* si al aplicar dicha operación a dos elementos cualquiera de t se obtiene como

resultado otro elemento de t.
El resultado de aplicar conoperaciones binarias siempre tendrá un solo resultado.

1) F = {



│a, b I a0 y b0}

2

( ), ( )  k

(F,  ) estructura de grupo abeliano.

2) * y ∆
E = {(2a, b) │ a, b  I}

(x, y) * (z, w) = (xz + xw + yz + yw)
(x, y) ∆ (z, w) = (xz, yw)

Determinar

* es cerrada

a) Si la operación
b) Demuestra que

es asociativa

c) Obtén si existen los elementos idénticos comopara

3) (A, +, *)

donde

(

,

)+(

,

)=

(

,

)*(

,

*y ∆

A = {(a, b) │ a, b  z}

)=

Sea el sistema algebraico

+

,

+
A

*. Sabiendo que (A, +) tiene estructura de grupo abeliano y

que se cumple la cerradura. Y la asociatividad respecto a la operación *.
a) Determinar si el sistema (A,
b)

+,*) tiene estructura de anillo.
En caso de que elsistema (A, +, *) sea anillo determines que tipo de anillo es.

4) Sea el sistema (B,*) donde
B=(a, b, c, u) y la operación * está definida de acuerdo a la siguiente tabla:

*

a

b

c

u

a
b
c
u

b
a
u
a

c
u
a
b

u
c
b
c

a
b
c
u

a) Determinar si para la operación * existe:
1) Cerradura
2) Elemento Idéntico
3) Los Inversos
4) Asociatividad

b) ¿Elsistema (a, *) en grupo? ¿Por qué?
5) Sea el conjunto de funciones reales de variable real
M = {f, g, h}
f(x) =

cuyas reglas de correspondencia son:

g(x) =

h(x) = x

Y la operación composición es definida por:

(f  g) (x) = f (g(x))
a)

Completar la siguiente tabla para la operación composición.



f

f
g
h

h

g
h
f

h

h

b) Considerando que la...