PRO cap 5 sistemas de un grado de libertad

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SISTEMAS DE UN
GRADO DE LIBERTAD

5.1 INTRODUCCIÓN
Para el estudio de la vibración de sistemas estructurales es necesario hacer uso de
algunos conceptos relativos a la respuesta de sistemas de un grado de libertad (1 GDL)
que son aplicables a sistemas de muchos grados de libertad como son las estructuras de
edificios por lo que es imprescindible comenzar por una revisión de estas ideas.
Lautilidad de un sistema tan simple reside en que permite establecer de manera muy
directa y sencilla diversos conceptos útiles en la comprensión de sistemas dinámicos más
complejos. Asimismo muchas estructuras simples pueden ser representadas razonablemente como un sistema de 1 GDL. La solución de sistemas complejos puede
obtenerse reduciendo el problema a uno de 1 GDL, así como ser parte de lasolución de
problemas con mayor número de variables que pueden reducirse a una combinación de
sistemas de un GDL.
"Un sistema de un grado de libertad (1 GDL) se define como aquel en que sólo
es posible un tipo de movimiento, o sea, la posición del sistema en cualquier
instante puede ser definida por la de una sola coordenada" [ Ref. 1 ] •
El sistema idealizado de una masa concentrada y un resorte sinpeso, aunque sencillo,
es una herramienta muy conveniente.

•

Las [ Ref. # ] indican las referencias bibliográficas listadas al final de cada Capítulo.

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CAP. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

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SECC. 5.3: ECUACIÓN DE MOVIMIENTO

5.2 MODELOS

F(t) - k.u = m.ü

La viga simplemente apoyada o el pórtico de un piso, que se muestran en la Fig. 5.1
pueden ser representados aproximadamente por unsistema de masa concentrada y
resorte con una sola componente de desplazamiento, o sea 1 grado de libertad (GDL).
m

Normalmente es más conveniente usar el principio de D'Alembert de acuerdo al cual
el equilibrio dinámico puede ser enforzado en cualquier instante añadiendo a las fuerzas
externas e internas una fuerza de inercia igual al producto de la masa por la aceleración,
m.ü, que se opone almovimiento, o sea orientada en el sentido negativo del
desplazamiento. De esta forma el equilibrio será: (Fig. 5.3)

k

u
m

(5.2)

u

u
k

k

m

F (t ) = F . f (t )

k

∆

∆
m

u
m

k

F (t ) = F . f (t )

m

k∆ = mg

Posición
Neutra

Fig. 5.1 Sistemas de un grado de libertad (1 GDL)

Se han desarrollado, inclusive, métodos modernos para el análisis inelástico
simplificado de estructuras deedificios en que estos se reducen a sistemas de 1 GDL
cuyo resorte presenta características fuerza-deformación inelásticas y multilineales [ Ref.
10 ].

uestático
u
m

F

F (t ) = F . f (t )

u est = F / k

F(t) - k.u - m.ü = 0
m.ü + k.u = F(t) = F.f(t)

b) Equilibrio Estático

c) Equilibrio Dinámico

k ( ∆ + u est ) = mg + F

a) Posición de Reposo

uestático
u dinámico

Fig. 5.2 Diagrama de cuerpo libre5.3 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO
La ecuación diferencial del movimiento de un sistema de 1 GDL puede obtenerse de
múltiples maneras:
a) Aplicando la 2da. Ley de Newton F = m.a
b) Usando el Principio de D'Alembert y aplicando las ecuaciones de equilibrio.
c) Aplicando los principios de trabajos (desplazamientos) virtuales.
d) Aplicando el Principio de Hamilton o conservación de la energía del sistema.En cualquiera de los sistemas mostrados en la Fig. 5.1 se puede apreciar que la masa
está sometida a una fuerza F(t), que varía con el tiempo. El resorte es elástico, así que la
fuerza interna es siempre igual al producto de “ k.u ” .
Nótese que no se incluye el peso ya que u es siempre medido desde la posición
neutra tal como se puede ver en la Fig. 5.2 . En dicha figura se ve que equivale asuponer inicialmente una masa sin peso.
La ley de Newton indica que la fuerza resultante es igual a la masa por la aceleración
imprimida. O sea:
F = m.a

(5.1)

INGENIERÍA SISMORRESISTENTE

ku
ku

m

mu&&

u&&
u&&

m

F (t )

mu&&

F (t )

Fig. 5.3 u es siempre medido desde la posición neutra por ello no se incluye el
..................
peso

ó

F(t) - k.u - m.ü = 0

(5.3)

m.ü + k.u = F(t) =...