Probabilidad condicional

PROBABILIDAD CONDICIONAL
 
Sea Ω un espacio probabilístico en donde se ha definido un evento E, donde p(E)0, si deseamos determinar la probabilidad de que ocurra un evento A (el que también es definido en el mismo espacio probabilístico), dado que E ya ocurrió, entonces deseamos determinar una probabilidad de tipo condicional, la que se determina como se muestra;
 
Ω

E |

AE |

 A |

 
 

Donde:
 
P(AE) = probabilidad de que ocurra A dado que E ya ocurrió
P(AE) = probabilidad de que ocurra A y E a un mismo tiempo
P(E) = probabilidad de que ocurra E
 
Luego;
PAE=PA∩EPE

Y

PE=nEnΩ

 
Por tanto:
 
PAE= nA∩EnE

 
Donde:
 
nA∩E = número de elementos comunes a los eventos A y E
nE = número de elementos del evento E
Luego entonces podemos usarcualquiera de las dos fórmulas para calcular la probabilidad condicional de A dado que E ya ocurrió.
 
Ejemplos:

1. Se lanza al aire dos dados normales, si la suma de los números que aparecen es de por lo menos siete. Determina la probabilidad de que:
:
a. De que en el segundo dado aparezca el número cuatro,
b. En ambos dados aparecen números pares,
c. En el primer dadoaparezca el numero dos.
 
Solución:

El espacio muestral es el mismo que cuando se lanza un dado dos veces y se muestra a continuación:
 
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
Ω = (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 
a. Para calcular una probabilidad condicional es necesario definir los eventos A y E, siendo estos,
 
A = evento de que en el segundo dado aparezca el número cuatro,
E = evento de que la suma de los números que aparecen sea de por lo menos siete, (que es que es el evento que está condicionando)
 
E = 21 elementos, los que suman siete o más
 
6,1
(5,2) (6,2)E = (4,3) (5,3) (6,3)
(3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) 6,6

A = 6 elementos, los que en el segundo dado aparece el cuatro

A = (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
 
Luego,
 
AE = (3,4) (4,4) (5,4) (6,4), nA∩E=4 elementos
 
Por tanto;
 
p(AE) = AE/ E= 4/21 = 0.19048

b. Ambos dados seanpares
 
6,1
(5,2) (6,2)
E = (4,3) (5,3) (6,3)
(3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) 6,6
 
A = evento de que ambos números sean pares
 
 
2,2 (4,2) (6,2)

A = (2,4) (4,4) (6,4)

(2,6) (4,6) 6,6
 
 
 
6,2

AE = (4,4) (6,4) AE= 6 elementos(2,6) (4,6) 6,6

p(AE) = AE/ E
= 6/ 21
= 0.28571

c. En el primer dado aparezca el número dos.
 
(6,1)
(5,2) (6,2)
E = (4,3) (5,3) (6,3)
(3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

A = evento de que en el primer dado aparezca el número dos
(2,1)
(2,2)
A = (2,3)(2,4)
(2,5)
(2,6)

AE = (2,5);(2,6), AE= 2 elemento

P(AE) = AE/E
= 2/21
= 0.04762 -- Corregir
 
2. Se seleccionan al azar dos números de entre los números del 1 al 9, si la suma de los números que aparecen es par. Determina la probabilidad de que:
a. Ambos números sean pares
b. Ambos números sean impares.
 
Solución:
 
Ω = 9C2 = 36maneras de seleccionar dos números de entre nueve que se tienen
 
(1,2)
(1,3) (2,3)
(1,4) (2,4) (3,4)
Ω = (1,5) (2,5) (3,5) (4,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6)
(1,7) (2,7) (3,7) (4,7) (5,7) (6,7)
(1,8) (2,8) (3,8) (4,8) (5,8) (6,8) (7,8)
(1,9) (2,9) (3,9) (4,9) (5,9) (6,9) (7,9) (8,9)
 
 
a. E = evento de que la suma de los...