Probabilidad Y Estadistica

MOMENTOS, SESGOS Y CURTOSIS
MOMENTOS:
En estadística, los momentos son los promedios de las series de potencias de la variable, es decir, cada uno de los datos elevados a una potencia “r”. Estos momentos se pueden definir con respecto a cualquier punto; la media y desviación estándar. Si x1 , x2 …… xn son los “n” valores de la variable “x”, entonces a partir de la media aritmética en la quetodos los valores de la variable están elevados a la potencia uno:
x= x1 + x2 +……. xn = i=lnxi
n n
Si se modifica el valor de ésta potencia, a una potencia “r” se obtiene la fórmula:
xr =  xr
n
Llamada r- ísimo momento, el primer momento, con r=1, es la media aritmética. El r- ísimo momento respecto de la media aritmética se define como:
mr= i=ln. (xi - x)r = (x - x)r = (x - x)r
n n
Si, r = 1, entonces, m1 = 0, y si, r = 2, entonces m2 = S2, la varianza,
el r – ísimo momento respecto de cualquier origen “A” se define como:
mr = (x – A)r = dr = (x – A)r
n n n
Ejemplos:
- Hallar los cuatro primerosmomentos del conjunto 2, 3, 7, 8, 10 :
a) El primer momento o media aritmética:
x = x = 2+3+7+8+10 = 30 = 6
n 5 5
b) El segundo momento es:
x2 = x2 = (2)2 + (3)2 + (7)2 + (8)2 + (10)2 = 256 = 45.2
n 5 5c) El tercer momento es:
x3 = x3 = 23 + 33 + 73 + 83 + 103 = 8 + 27 + 343 + 512 + 1060 = 1890 = 378
n 5 5 5
d) El cuarto momento es:
x4 = x4 = 24 + 34 + 74 + 84 + 104 = 16,594 = 3,318.8
n5 5
-Hallar los cuatro primeros momentos respecto de la medida aritmética para el conjunto de números: 2,3,7,8,10
1.- Se determina la media aritmética:
x = 2+3+7+8+10 = 30 = 6
5 5
2.- Se aplica la fórmula m = (X - x) para el momento que se quiera calcular
a) m1 = (X - x) = (X- x) = (2-6) + (3-6) + (7-6) + (8-6) + (10-6)= -4-3+1+2+4 = 0 = 0
n 5 5 5
b) m2 = (X - x)2 = (X- x)2 = (2-6)2+(3-6)2+(7-6)2+(8-6)2+(10-6)2 = 16+9+1+4+16 = 46 = 9.
n 5 5
c) m3 = (X - x)3 = (X-x)3 = (2-6)3+(3-6)3+(7-6)3+(8-6)3+(10-6)3 = (-4)3+(-3)3+(1)3+(2)3+(4)3
n 5 5
= -64-27+1+8+64 = -18 = -3.6
5 5
d) m4 = (X - x)4 = (X- x)4 = (2-6)4+(3-6)4+(7-6)4+(8-6)4+(10-6)4 = 610 = 122n 5 5
- Hallar los cuatro primeros momentos respecto del número 4 para el conjunto de números: 2,3,7,8 y 10.
a) m´1 = (x – 4) = (X- 4) = (2–4) + (3-4) + (7-4) + (8-4) + (10-4) = 2
n 5
b) m´2 = (x – 4)2 = (X- 4)2 =(2–4)2+(3-4)2+(7-4)2+(8-4)2+(10-4)2 = 65 = 13.2
n 5 5
c) m´3 = (x – 4)3 = (X- 4)3 = (2–4)3+(3-4)3+(7-4)3+(8-4)3+(10-4)3 = 298 = 59.6
n 5 5
d) m´4 = (x – 4)4 = (X- 4)4 =...