Probabilidad y estadistica

Probabilidad condicionada.
En el cálculo de las probabilidades de algunos sucesos, el valor de dicha probabilidad varía en función del conocimiento de determinadas informaciones relativas a estos sucesos. Veamos un ejemplo.

EJEMPLO: Si disponemos de una urna que contiene cuatro bolas numeradas del 1 al 4, extraemos una bola y seguidamente la volvemos a introducir para realizar una segundaextracción, la probabilidad de extraer, por ejemplo, la bola número 3 en la segunda extracción es la misma que en la primera.
Si realizamos el mismo proceso sin reemplazar la bola extraída la probabilidad de extraer, por ejemplo, la bola número 3 en la segunda extracción dependerá de la bola extraída en primer lugar.
|Sean A y B dos sucesos tal que P( A ) [pic]0, se llama probabilidad de Bcondicionada a A, P(B/A), a la probabilidad de B tomando como |
|espacio muestral A, es decir, la probabilidad de que ocurra B dado que ha sucedido A. |
|[pic] |

De esta igualdad se deduce:[pic] P ( B[pic]A ) = P( B/A )· P( A )
La fórmula anterior adopta la forma para tres sucesos, A, B y C:
P( A[pic]B [pic]C ) = P( A ) · P( B/A ) · P( C/A [pic]B )
Esta fórmula admite una generalización para un número cualquiera de sucesos.
|[pic] |
|Ejemplo:|
|Consideremos el experimento de "lanzar un dado al aire". Calculemos, por ejemplo, la probabilidad de obtener un 3 sabiendo que ha |
|salido un número impar: |
|Definimos los sucesos A="sacar 3" y B={1,3,5}; entonces, P(A/B)=1/3 puesto que si sabemos que ha salido un número impar, los casos |
|posibles ahora son 3 y los casos favorables al suceso A sólo 1. |

Ejercicio1.
Se lanzan dos dados:

a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a 7?
b. Si la suma de puntos ha sido 7, ¿cuál es laprobabilidad de que en alguno de los dados haya salido un tres?

Solución:

Sean los sucesos A="la suma de los puntos es 7" y B="en alguno de los dados ha salido un tres".

a. Los casos posibles al lanzar dos dados son 36 y los casos favorables al suceso A son los seis siguientes: (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2) y (6,1). Por tanto, P( A )=6/36=1/6

b. En este caso, el suceso B/A es saliren algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que esta situación ocurre en las parejas (3,4) y (4,3).
Por tanto, P( B/A )=2/6=1/3

Probabilidad condicionada.
El conocimiento de que ha ocurrido el suceso A modifica, en algunas ocasiones, la probabilidad del suceso B, pero en otras no. Los sucesos en los que, conociendo que uno ha ocurrido, no se modifica la probabilidad del otro,decimos que son independientes y, si se modifica, decimos que son dependientes entre sí.
|Decimos que dos sucesos A y B son independientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad del otro, es |
|decir, si |
|P( B/A ) = P( B ) [pic]ó[pic] P(A/B ) = P( A ) |

|Decimos que dos sucesos A y B son dependientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos modifica la probabilidad del otro, es decir, si |
|P( B/A ) [pic]P( B ) [pic]ó[pic] P( A/B ) [pic]P( A ) |

Como...