Probabilidad

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La gerencia de una zapatería esta realizando un estudio sobre las ventas de un determinado artículo, del cual distribuye tres marcas distintas. El gerente ha observado que el 30% de las ventas diarias del citado articulo son de la marca A, el 50% de la marca B y el 20% restante de corresponde a la marca C.
Diferenciando entre las compras efectuadas por la mañana y las realizadas por la tarde, seestima que el 50% de las ventas de la marca A se realiza por la mañana, el 45% de las ventas de la marca B por la tarde y el 40% de la marca C se vende por la mañana.

La gerencia de una zapatería está realizando

0,3 A 0,5 M  P(AΛM)=0,3 * 0,5= 0,15
0,5 Ṁ  P(AΛM)=0,3 * 0,5= 0,15
0, 5 B 0,55 M  P(BΛM)=0,5 * 0,55= 0,275
0, 45 Ṁ P(BΛM)=0,5* 0,45= 0,225

0, 2 C 0, 4 M P(CΛM)=0,2 * 0,4= 0,08
0, 6 Ṁ  P(CΛM)=0,2 * 0,6= 0,12
∑ 1
P(A)+ P(B)+ PC)=1
P(A)+0,5+0,2=1  P(A)=0,3
a) Probabilidad de M la hemos utilizado según el teorema de la probabilidad total
P(A/M)= P(AΛM) = 0,15 = 0,297
P(M) 0,505

El Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas:Ejemplo: supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un accidentes es x% y si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%. Este teorema nos permite deducir cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente si conocemos la probabilidad de que llueva y la probabilidad de que haga buen tiempo.
La fórmula para calcular esta probabilidad es:

Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B(en nuestro ejemplo, que ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadas de este suceso con los diferentes sucesos A (probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la probabilidad de cada suceso A.
Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito:
Los sucesos A tienen que formar un sistemacompleto, es decir, que contemplen todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el 100%).
Ejemplo: al tirar una moneda, el suceso "salir cara" y el suceso "salir cruz" forman un sistema completo, no hay más alternativas: la suma de sus probabilidades es el 100%
Ejemplo: al tirar un dado, que salga el 1, el 2, el 3, o el 4 no forman un sistema completo, ya que no contempla todas lasopciones (podría salir el 5 o el 6). En este caso no se podría aplicar el teorema de la probabilidad total.

El Teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en el Teorema de la probabilidad total:
Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B(que ocurra un accidente).
Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?).
La fórmula del Teorema de Bayes es:

Tratar de explicar estar fórmula con palabras es un galimatías, así que vamos a intentar explicarla con un ejemplo. De todos modos, antes de entrar en el ejercicio,recordar que este teorema también exige que el suceso A forme un sistema completo.

P(M) = 0,15+ 0,275+0,08=0,505
P(B/M) = P(AΛM) = 0,275 = 0,5446
P(M) 0,505

P(C/M) = P(CΛM) = 0,08 = 0,1584
P(M) 0,505

Y cada una de estas probabilidades se obtiene utilizando el teorema de bayes.

b) Sabiendo que un artículo se vende por la mañana calcular laprobabilidad que sea del B o C.

P(BUC/M) = P(B/M) + P(C/M)= 0,5446+ 0,1584 = 0,703

c) Si se sabe que en la fábrica se producen tres artículos cada minuto sin tener en cuenta la marca y la probabilidad de que un artículo fabricado sea defectuoso es de 0,02.

c.1) Se pide calcular la probabilidad de que en un minuto no tengamos ningún zapato defectuoso.

X= seleccionar un zapato que tenga...
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